小學數(shù)學培訓總結(jié)15篇(合集)
總結(jié)是把一定階段內(nèi)的有關(guān)情況分析研究，做出有指導性結(jié)論的書面材料，它在我們的學習、工作中起到呈上啟下的作用，為此要我們寫一份總結(jié)。我們該怎么去寫總結(jié)呢？以下是小編精心整理的小學數(shù)學培訓總結(jié)，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
小學數(shù)學培訓總結(jié)1
很有幸參加了這次送教下鄉(xiāng)國培培訓。雖然只有短暫的三天時間，但使我大開眼界，讓我飽享了高規(guī)格的“文化大餐”，學會了很多在平時沒有見識到的知識和理念，為我以后的教學指明了前進的方向和道路，真的是受益匪淺。
這次培訓內(nèi)容具有很強的向?qū)院蛯嵱眯裕饕龑覀冞M行參與式教研，如何進行數(shù)學廣角的教學和上好一節(jié)微課。參加培訓的小組學員積極研討，各抒己見，我從其他老師身上學到很多東西。各位專家、老師毫無保留的把自己在學習和工作中的經(jīng)驗?zāi)贸鰜砼c大家分享，深入淺出，可謂是異彩紛呈。他們以鮮活的案例和豐富的'知識內(nèi)涵及精湛的理論闡述，給了我強烈的感染和深深的理論引領(lǐng)。
侯教授帶著我們磨課、研課，為我們的教學指明了發(fā)展方向。同課異構(gòu)讓我聆聽了不同風格的老師講課，每堂課都值得我們參考、學習、借鑒。尤其是焦作的劉老師在小組合作探究活動環(huán)節(jié)讓我印象深刻，受益匪淺。我深刻的體會到這些前輩們教學方法的與眾不同，也感受到了老師和學生之間原來可以如此的默契……在以后的工作中，我會把其中的精華加以吸取，嘗試運用到以后的課堂教學過程中，逐步提高和完善自己的課堂教學。讓自己的課堂也活躍起來，真正讓學生在快樂的氛圍中學習，充分讓學生參與到數(shù)學學習中來，從而切實感受到數(shù)學的魅力。
培訓讓我明白了應(yīng)該注重對學生的研究，清晰的了解每個學生對知識的掌握情況，關(guān)注課堂上的預(yù)設(shè)之外的生成。其次，我更加明確了在小學數(shù)學教學中最重要的究竟是應(yīng)該教給學生什么。最重要的是教給學生知識？不是。最重要的是教給學生方法？也不是。最重要的是教給學生數(shù)學思想。因為，如果擁有了數(shù)學思想，也就擁有了解決實際問題的金鑰匙
培訓，使我提高了認識，理清了思路，找到了自身的不足之處。我將以此為起點，讓“差距”成為自身發(fā)展的原動力，不斷梳理與反思自我，促使自己不斷成長。在今后的教育教學實踐中，潛下心來采他山之玉，靜下心來納百家之長。在教中學，在教中研，以生為本，在教和研中追求實效和水平，努力成為一名領(lǐng)導放心，學生尊重和喜歡的人民教師。最后再次感謝專家們?yōu)槲覀兊慕逃茖W理論注入了源頭活水，希望以后能多點這種學習機會好好充電。
小學數(shù)學培訓總結(jié)2
數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個重要的標志。人類從識別事物多寡的原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個緩慢漸進的過程。
第一次擴充：分數(shù)的引進；第二次擴充：0的引進；第三次擴充：負數(shù)的引進；第四次擴充：無理數(shù)的引進；第五次擴充：復數(shù)的引進。
從原有數(shù)集擴充到新數(shù)集所遵循的原則：原數(shù)集是擴充后新數(shù)集的真子集；原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運算在新數(shù)集中同樣地被定義；原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運算結(jié)果與在原數(shù)集中的運算結(jié)果一致，且基本運算律保持；在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運算，在新數(shù)集中能夠施行；新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。擴充方法：一種是把新引進的數(shù)加到已建立的數(shù)系中而擴充。另一種是從理論上創(chuàng)造一個集合，即通過定義等價類來建立新數(shù)系，然后指出新數(shù)系的一個部分集合與以前數(shù)，一種新的數(shù)，也就實現(xiàn)了數(shù)系的一次擴張。引入了負數(shù)，就實現(xiàn)了這個數(shù)系關(guān)于加減運算的自封閉。
有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋在一條水平的直線上，確定一段線段為單位長度，把它的左、右端點分別標設(shè)為0和1。正整數(shù)在0的右邊，負整數(shù)在0的左邊。對于分母q的有理數(shù)，就可以用把單位區(qū)間q等分的那些分點表示。每一個有理數(shù)都可以找到數(shù)軸上的一點與之對應(yīng)。
無理數(shù)的引入正方形的邊長和對角線不可公度。實現(xiàn)了數(shù)系的又一次擴張，可以滿足數(shù)學上開方運算的需要，實現(xiàn)了實數(shù)系關(guān)于加減運算的封閉性。戴德金闡述了有理數(shù)的有序性、稠密性和戴德金分割。戴德金分割是指,每個有理數(shù)都將全部有理數(shù)分為兩類，使得第一類中每個數(shù)都小于第二類中的任一個數(shù)，這個分類的有理數(shù)可以算在兩類的任何一類中。利用這個分割法可以得到無理數(shù)的定義。
所建立的數(shù)系是同構(gòu)的。
自然數(shù)的兩大基本理論：基數(shù)理論和序數(shù)理論
基數(shù)理論當我們把所有表示數(shù)量的符號放在一起就得到了一個集合，我們稱之為“數(shù)集”，為了度量“數(shù)集”當中表示數(shù)量的符號個數(shù)，我們首先要定義一個概念就是“基數(shù)”。19世紀中葉，數(shù)學家康托以集合理論為基礎(chǔ)提出了自然數(shù)的基數(shù)理論。等價集合的共同特征稱為基數(shù)。對于有限集合來說，基數(shù)就是元素的個數(shù)。自然數(shù)就有有限集合A的基數(shù)叫做自然數(shù)。記作“”。當集合是有限集時，該集合的基數(shù)就是自然數(shù)。空集的基數(shù)就是0。而一切自然數(shù)組成的集合，我們稱之為自然數(shù)集，記為N。
序數(shù)理論皮亞諾1889年建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，進而完全確立了數(shù)系的理論。是根據(jù)一個集合里某些元素之間有“后繼”這一基本關(guān)系和五條公理（皮亞諾公理），把自然數(shù)集里的元素按1、2、……這樣一種基本關(guān)系而完全確定下來。
定義非空集合N中的元素叫做自然數(shù),如果N的元素之間有一個基本關(guān)系“后繼”(b后繼于a,記為b=a′)，并滿足下列公理：
（1）0∈N；
（2）0不是N中任何元素的后繼元素；
�。�3）對N中任何元素a，有唯一的a′∈N；
（4）對N中任何元素a，如果a≠0，那么，a必后繼于N中某一元素b；
�。�5）（歸納公理）如果MN，而且滿足條件:①0∈M；②若a∈M，則a′∈M.那么，M=N這樣，所構(gòu)成的系統(tǒng)稱為皮亞諾公理系統(tǒng)，它就是自然數(shù)系。
自然數(shù)0是作為空集的標記。在空集中，“0”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)中是不可缺少的。
自然數(shù)系所蘊含的思想
對應(yīng)思想（可數(shù)的集合）自然數(shù)建立在對應(yīng)概念之上，而且對應(yīng)的思想也成為自然數(shù)的一個重要性質(zhì)。一一對應(yīng)關(guān)系是集合論中建立兩個集合“相等”關(guān)系的一個重要概念。（導致了俗稱“理發(fā)師悖論”的羅素悖論的發(fā)現(xiàn)）德國策梅羅提出七條公理，建立了一種不會產(chǎn)生悖論的集合論，后又經(jīng)過德國弗芝克爾改進形成了一個無矛盾的集合論公理系統(tǒng)（ZF公理系統(tǒng)）。數(shù)位思想
位置制記數(shù)法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。十進位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。
負數(shù)的數(shù)學含義至少包括如下幾個方面：+a與-a表示一對相反意義的量。引入負
數(shù)學符號有兩種重要屬性：抽象性和形象性。數(shù)學符號的意義在于：有了數(shù)學符號，才使得抽象的數(shù)學概念有了具體的表現(xiàn)形式，才使得具有一般意義的推理和運算、抽象的數(shù)學思維能以直觀的、簡約的形式表現(xiàn)出來。
字母代表數(shù)代數(shù)，原意就是指“文字代表數(shù)”的學問。使得許多算術(shù)問題可以轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程問題求解。根本的內(nèi)涵是“未知數(shù)的`符號x可以和數(shù)一樣進行四則運算。文字代表數(shù)的真正價值在于：字母能夠和數(shù)字一起進行四則運算和乘方、開方，進行指數(shù)、對數(shù)、三角等運算，乃至對字母進行微分、積分運算等等。
解析式數(shù)字、字母、運算符號按照一定規(guī)律有意義地結(jié)合而成的符號組合。解析式中的字母可以有不同的含義不同的含義不影響它基本運算規(guī)律和變形規(guī)則。解析式可以區(qū)分為兩大類：一類是只含有代數(shù)運算的解析式叫代數(shù)式，沒有開方運算的代數(shù)式稱為有理式，否則稱為無理式；沒有除法運算的有理式稱為整式，否則稱為分式；沒有加、減運算的整式稱為單項式，否則稱為多項式。另一類是包含初等超越運算的解析式統(tǒng)稱為初等超越式，簡稱超越式。它包括指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式、反三角函數(shù)式。
解析式的恒等變形把一個給定的解析式變換為另一個與它恒等的解析式，叫做解析式的恒等變形。恒等是相對的。式的恒等變形也是可以連寫的，因為它們對一切數(shù)，代入式都相等。但是，解方程時的同解變形，不是恒等變形，。代數(shù)式數(shù)學的符號語言
代數(shù)式是在數(shù)系基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。在初等代數(shù)中，所涉及的運算可分為兩大類：1代數(shù)運算2初等超越運算：指數(shù)是無理數(shù)的乘方、對數(shù)、三角、反三角運算。
定義，在一個解析式中，如果對字母只進行有限次代數(shù)運算，那么這個解析式就稱為代數(shù)式；如果對字母進行了有限次的初等超越運算，那么這個解析式就稱為初等超越式，簡稱超越式。還可以進一步分類：只含有加、減、乘、除、指數(shù)為整數(shù)的乘方運算的代數(shù)式稱為有理式；其余的代數(shù)式稱為無理式；在有理式中，只含有加、減、乘運算稱為整式（或多項式），其余的有理式稱為分式。
“數(shù)”發(fā)展到“式”的意義導致了運算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，包含了計算對象擴大化，即數(shù)系的擴大化問題。將抽象的符號運算應(yīng)用到更一般的對象上，開辟了構(gòu)造數(shù)學的新方向，為抽象代數(shù)學的發(fā)展埋下了伏筆，成為近代數(shù)學的顯著特征。
數(shù)學符號具有重要的屬性一是它的抽象性。符號代表了事物本質(zhì)的特征，從而具有代表性和一般性。另一個重要的屬性在于它的形象性。數(shù)學符號不但精確地表示數(shù)學抽象，而且是抽象內(nèi)涵的簡約形象。等式和方程
�。ㄒ唬┓匠痰暮x“含有未知數(shù)的等式叫方程”。這個定義簡單明了，為大家所習用。不過，這個定義有不足�！胺匠淌菫榱藢で笪粗獢�(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系�！卑逊匠痰暮诵膬r值提出來了，即為了尋求未知數(shù)。
判斷一個代數(shù)式等式是否是方程就是看等式中的字母是否是待求的未知數(shù)。方程的概念一般用于兩個領(lǐng)域：“求某個未知數(shù)的數(shù)”和“曲線與方程”在這兩個領(lǐng)域中“方程”的概念本身并沒有變化，而是研究的問題有所不同。前者的目的在于求方程的解，而后者則希望研究的是這些解的分布情況。方程解的個數(shù)（或解集的大�。┡c方程的存在域的大小有直接關(guān)系。
方程的分類依照方程解的個數(shù)分，可將方程分為無解方程（矛盾方程）、有唯一解、有多個解、有無窮多個解和全體實數(shù)解等。方程按照它所含有的未知數(shù)的個數(shù)來分類：集。兩個不等式的解集相同，則稱這兩個不等式是同解的。
不等式有三個基本性質(zhì)：1不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，2不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變3不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小于0的整式，不等號方向改變。不等式的實際應(yīng)用在運動變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關(guān)系，那么.方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。不等式尤其在解決“最值”問題上具有廣泛的應(yīng)用。不等式蘊含的思想
（一）模型思想與相等現(xiàn)象相比，不等現(xiàn)象是現(xiàn)實世界中更為普遍的現(xiàn)象，不等式是一元方程、二元方程、多元方程等。
方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達形式，形成了方程的基本思想。
方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。學習方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個方面。一方面是建模，另一方面是會解方程。關(guān)于方程建模大自然的許多客觀規(guī)律都表現(xiàn)為量與量之間的某種關(guān)系，將它表示出來往往就是一個方程式。初中方程的教學不能過分地停留在數(shù)學層面上必須使學生真正體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活密不可分的聯(lián)系。體會方程是一種用數(shù)學符號提煉現(xiàn)實生活中的特定關(guān)系的過程。必須學會抽象將關(guān)系抽象為數(shù)學符號。
方程設(shè)計思想的思路先進行生活中的提煉，然后到數(shù)學表達，到形式化的方程，再到最終解決方程問題。
初中數(shù)學方程的常見解法：換元法、因式分解法、圖像法、求根公式法。
等式與方程的關(guān)系建立方程是借助等式作為其上位概念來完成的。方程是一種特殊的等式，是在說明相等是怎么回事，等式可以是數(shù)字之間的相等，可以是恒等，而方程刻畫的可以是兩件事情之間的相等，可以是有條件的相等，也可以使一種隨機的相等。不等式
學習的意義不等式可以表示一種界限，本身就是一種規(guī)律。其次，研究不等式可以導致等式。最后，不等式在幾何上可以表示一個區(qū)域。
不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾獨立的，也是相互統(tǒng)一的。不等關(guān)系往往可以等價地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系加以解決。
不等式的含義兩個實數(shù)或代數(shù)式用符號連接起來的所得到的式子叫做不等式。如果不論用什么實數(shù)代替不等式中的字母，它都能夠成立，這樣的不等式叫絕對不等式，如果只用某些范圍內(nèi)的實數(shù)代替不等式中的字母，它才能夠成立，這樣的不等式叫條件不等式。如果不論用什么樣的實數(shù)值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，這樣的不等式叫矛盾不等式。當不等號兩邊的解析式都是代數(shù)式時，稱為代數(shù)不等式；兩邊的解析式至少有一個是超越式時，稱為超越不等式。不等式解集表示方法
不等式所有解的集合，叫做解集。求不等式解集的過程叫解不等式。不等式組中每一個不等式解集的交集叫做不等式組的解集。
一個不等式的解集表示方法1數(shù)軸表示法即在數(shù)軸上把不等式的解集表示出來。2集合表示法即用集合來表示不等式的解集。3區(qū)間表示法即用區(qū)間來表示不等式的解
刻畫不等現(xiàn)象的有力模型。通過分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實際問題時，要合理選擇這三種重要的數(shù)學模型。（二）辯證思想通過c=a-b的媒介作用，不等式a>b與等式a=b+c建立了一種“等價”關(guān)系。這是一種辯證關(guān)系。恰當?shù)剡\用這種思想可以輕松地化解相當多的問題。（三）數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題意可列出不等式組，運用數(shù)軸表示不等式組的解集，可以直觀形象地解決問題。這種思想正是數(shù)形結(jié)合思想。函數(shù)
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型。
1755年，歐拉首次給出了函數(shù)變量定義：“如果某些變量，以這樣一種方式依賴于另一些變量，即當后面的變量變化時，前者的這些量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后一些變量的函數(shù)�！庇纱搜葑�?yōu)槟壳暗暮瘮?shù)的“變量說”黎曼在1851定義：“我們假定z是一個變量，如果對它的每一個值，都有未知量W的每一個值與之對應(yīng)，則稱W是Z的函數(shù)�！薄�1939年，布爾巴基學派主借用了笛卡兒積建立關(guān)系，進而定義函數(shù)：
1）對
中每一個元素
，存在
，使
��；
�。�2）若且，則。函數(shù)記作：”分別稱以上函數(shù)定義為變量說、對應(yīng)說和關(guān)系說。函數(shù)概念的核心思想
數(shù)學的核心是研究關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個變量的取值發(fā)生了變化，另一個變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達的數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系。其中有三點是重要的，一是變量的取值是實數(shù)；二是因變量的取值是唯一的；三是必須借助數(shù)字以外的符號表示函數(shù)。函數(shù)的表達方式一般有三種：解析式法，表格法，圖像法。
解析式是最常用的方法，適用于表示連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)。解析式有利于研究函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學模型，但對初學者來說也是抽象的。列表法適用于表達變量取值是離散的情況。利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質(zhì)，但作圖是比較困難的，用何種方法表達函數(shù)可因題而議。中學數(shù)學研究的函數(shù)性質(zhì)
數(shù)學中研究函數(shù)主要是研究函數(shù)的變化特征。中學階段主要研究函數(shù)的周期性，也涉及
奇偶性；在高中階段主要研究函數(shù)的單調(diào)性、周期性，也討論某些函數(shù)的奇偶性。（一）函數(shù)的周期性周期性反映了函數(shù)變化周而復始的規(guī)律。是中學階段學習函數(shù)的一個基本的性質(zhì)。周期函數(shù)是刻畫周期變化的基本函數(shù)模型，使我們集中研究函數(shù)在一個周期里的變化，了解函數(shù)在整個定義域內(nèi)的變化情況。
�。ǘ┖瘮�(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性也是我們在中學階段學習函數(shù)時要研究的函數(shù)的性質(zhì)，但它不是最基本的性質(zhì)。奇偶性反應(yīng)了函數(shù)圖形的對稱性質(zhì)，可以幫助我們用對稱思想來研究函數(shù)的變化規(guī)律。
�。ㄈ┖瘮�(shù)的單調(diào)性單調(diào)性是討論函數(shù)“變化”的一個最基本的性質(zhì)。從幾何的角度看，就是研究函數(shù)圖像走勢的變化規(guī)律。函數(shù)與其它內(nèi)容的聯(lián)系
�。ㄒ唬┖瘮�(shù)與方程用函數(shù)的觀點看待方程可以把方程的根看成函數(shù)與x軸交點的橫坐．解析幾何的產(chǎn)生與發(fā)展
笛卡爾提出了平面坐標系的概念，實現(xiàn)了點與數(shù)對的對應(yīng)，將圓錐曲線用含有兩面三刀個求知數(shù)的方程來表示，并且形成了一系列全新的理論與方法，解析幾何就這樣產(chǎn)生了。現(xiàn)代幾何的產(chǎn)生與發(fā)展
人們不斷發(fā)現(xiàn)《幾何原本》在邏輯上不夠嚴密之處，在嘗試用其他公理、公設(shè)證明第五公設(shè)“的失敗，促使人們重新考察幾何學的邏輯基礎(chǔ)，并取得了兩方面的突出研究成果。初中數(shù)學課程中的幾何學內(nèi)容
（一）直觀幾何幾何學是其中研究“形”的分支。幾何圖形可以直觀地表示出來，人們認識圖形的初級階段，主要依靠形象思維�！靶蜗笏季S”也就是強調(diào)幾何直觀。
�。ǘ┭堇[幾何幾何圖形本身具有抽象性和一般性，一種幾何概念可能包含無限多種不同的情形，因此，研究圖形的形狀、大小和位置關(guān)系時，不能僅僅依靠直觀實驗的方法，標，即零點的橫坐標。方程可看作函數(shù)的局部性質(zhì)，求方程的根就變成了求函數(shù)圖形與x軸的交點問題。
�。ǘ┖瘮�(shù)與數(shù)列數(shù)列是特殊的函數(shù)。它的定義域一般是指非負的正整數(shù)集，有時也可以為自然數(shù)集，或者自然數(shù)集的子集。數(shù)列通常稱為離散函數(shù)。等差數(shù)列是線性函數(shù)的離散化，而等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)的離散化。
�。ㄈ┖瘮�(shù)與不等式我們首先確定函數(shù)圖像與x軸的交點（方程f(x)=0的解），再根據(jù)函數(shù)的圖像來求解不等式。
（四）函數(shù)與線性規(guī)劃是最優(yōu)化問題的一部分，從函數(shù)的觀點看，首先，要確定目標函數(shù)，用目標函數(shù)來刻畫“好、壞”或“大、小”等，接著，需要確定目標函數(shù)的可行域。最后，討論目標函數(shù)在可行域（由約束條件確定的定義域）內(nèi)的最值問題。
解線性規(guī)劃問題，可歸結(jié)為以下算法：第一步，確定目標函數(shù)；第二步，確定目標函數(shù)的可行域；第三步，確定目標函數(shù)在可行域內(nèi)的最值。函數(shù)模型
函數(shù)是對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的抽象，是建立思想模型的基礎(chǔ)，具有良好的普適性和代表意義�，F(xiàn)實生活中，普遍存在著最優(yōu)化問題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問題，通過建立相應(yīng)的目標函數(shù)，確定變量的限制條件，運用函數(shù)建模的思想進行解決。在運用一次函數(shù)知識和方法建模解決時，有時要涉及到多種方案，通過比較，從中挑選出最佳的方案。
在實際的教學中，除了使學生了解所學習的函數(shù)在現(xiàn)實生活中有豐富的“原型”之外，還應(yīng)通過實例介紹或讓學生通過運算來體驗函數(shù)模型的多樣性。
通過實例，讓學生體會、感受數(shù)據(jù)擬合在預(yù)測、規(guī)劃等方面的重要作用，使學生們學會用數(shù)學的知識、思想方法、數(shù)學模型解決實際問題，提高運用數(shù)學的能力．要鼓勵學生收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型的實例進行探索實踐．第二章圖形與幾何四個基本階段。
實驗幾何的形成和發(fā)展
人們在觀察、實踐、實驗的基礎(chǔ)上積累了豐富的幾何經(jīng)驗，形成了一批粗略的概念，反映了某些經(jīng)驗事實之間的聯(lián)系，形成了實驗幾何。理論幾何的形成和發(fā)展
柏拉圖把邏輯學的思想方法引入幾何學，確立縝密的定義和明晰的公理作為幾何學的基礎(chǔ)，歐幾里德按照嚴密的邏輯系統(tǒng)編寫的《幾何原本》奠定了理論幾何的基礎(chǔ)。而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括邏輯推理。
以一些原始概念和公理為出發(fā)點，逐步對一些幾何概念做比較邏輯化的描述，進行一些基本推理和論證。雖然也借助直觀和少量代數(shù)公理，但是，主要立足邏輯進行幾何概念及其性質(zhì)的分析研究，這就是演繹幾何。
�。ㄈ┒攘繋缀螌σ恍﹫D形進行度量，包括長度，面積，體積，角度等，適當?shù)难由臁＃ㄋ模┳儞Q幾何也叫運動幾何。這個領(lǐng)域主要討論平移、旋轉(zhuǎn)、反射等剛體運動，以及相似變換、拓撲變換，并借以研究圖形的全等、對稱等概念，了解變換之下的不變量。（五）坐標幾何即解析幾何。在解析幾何中，首先是建立坐標系。坐標系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。
經(jīng)驗幾何所謂經(jīng)驗幾何，通常是直觀幾何、實驗幾何的通稱，它特別關(guān)注學生幾何活動經(jīng)驗的積累，以及幾何直覺的發(fā)展。經(jīng)驗幾何的作用
幾何學是研究現(xiàn)實世界物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學科,而后發(fā)展成為研究一般空間結(jié)構(gòu)、圖形關(guān)系的學科。
�。ㄒ唬┙�(jīng)驗幾何則是發(fā)現(xiàn)幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)人的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用，而論證幾何在培養(yǎng)人的邏輯思維能力方面起著重要作用。（二）經(jīng)驗幾何是學習推理論證幾何的必要前提。
學習的內(nèi)容是由非形式化的推理逐漸提升到形式化的推理，透過直觀幾何與實驗幾何的充分學習，對幾何對象的熟悉及非形式化的推理，達到知覺性的了解、操作性的了解，進而形成幾何推理。
另一方面，我們用來作為推理基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)，一部分是利用實驗歸納的方法得來的，另一部分則是利用已知的幾何性質(zhì)進行“推論”而導出的結(jié)果。
�。ㄈ⿲嶒瀻缀问菐缀螌W習的一個階段和一種認知水平，更是一種幾何學習方法。總之，實驗幾何作為幾何學習的一個階段，在學生幾何學習過程中起到承上啟下的銜接作用；同時，實驗幾何是貫穿從直觀幾何到論證幾何學習的一種有益于發(fā)現(xiàn)真理、幾何直觀幾何直觀具有發(fā)現(xiàn)功能，同時也是理解數(shù)學的有效渠道。數(shù)學概念經(jīng)過多級抽象充分形式化后，有必要以相對直觀可信的數(shù)學對象為基礎(chǔ)進行理性重建，從而達到思維直觀化的理想目標和可應(yīng)用性要求,這要求數(shù)學的直觀與形式的統(tǒng)一，才使得數(shù)學的完美。
幾何直觀及其作用《數(shù)學課程標準》（修訂稿）指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述
和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。
幾何直觀對于學生的數(shù)學發(fā)展非常重要：
首先，幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學研究方式，在科學發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用。對于數(shù)學中的很多問題，靈感往往來自于幾何直觀。數(shù)學家總是力求把他們研究的問題盡量變成可借用的幾何直觀問題，使他們成為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的向?qū)ВS著現(xiàn)代科技的發(fā)展，幾何直觀在計算機圖形學、圖象處理、圖象控制等領(lǐng)域都有誘人的前景。
其次，幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎(chǔ),有助于學生對數(shù)學的理解。
借助于幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路,可以幫助我們理解和接受抽象的內(nèi)容和方法，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創(chuàng)造了一個自己主動思考一般地，周長指封閉曲線一周的長度。（二）面積
物體的表面是一個二維的圖形，直觀地感覺它所占有的區(qū)域具有一定的大小，對一個二維圖形的表面進行度量以后，用一個“數(shù)”標志它的大小，稱這個數(shù)為該圖形的面積。人們約定，將邊長為1米的正方形的面積規(guī)定為1平方米。
于是，對于邊長為整數(shù)a米、b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1米的正方形，進而，這個矩形就由ab個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab平方米（整數(shù)）。如果矩形的邊長A，B是無理數(shù)，而且仍用邊長為1的正方形去度量，那么，還要使用極限過程，用一列有理數(shù)逼近無理數(shù)，an→A,bn→B。依據(jù)anbn→AB，以及有理數(shù)邊長的矩形面積公式，最后得出，矩形的面積也是AB。
這個過程實際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的的機會，揭示經(jīng)驗的策略，創(chuàng)設(shè)不同的數(shù)學情景，使學生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗和感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程；使學生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數(shù)學觀。
最后，幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學本質(zhì)的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論。借助幾何直觀，揭示研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使思維很容易轉(zhuǎn)向更高級更抽象的空間形式，使學生體驗數(shù)學創(chuàng)造性工作歷程，能夠開發(fā)學生的創(chuàng)造激情，形成良好的思維品質(zhì)。
直觀幾何主要包含哪些內(nèi)容
以大量豐富的實例為背景，通過觀察、操作來探索認識基本圖形的性質(zhì)。這些基本圖形主要包括點、線、面、角、平行線、相交線、三角形四邊形、圓等，除此之外，還包括尺規(guī)作圖、視圖和投影等。這些內(nèi)容構(gòu)成直觀幾何的重要組成部分。經(jīng)驗幾何的具體研究內(nèi)容
初中幾何的主要課程教學目標在于，“積累幾何活動經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀、空間觀念，進一步感受幾何推理的魅力，體會幾何的美，初步掌握幾何推理的基本形式”，而發(fā)展幾何直觀、積累幾何活動經(jīng)驗、培養(yǎng)空間觀念，則是經(jīng)驗幾何的核心目標。按照初中階段的經(jīng)驗幾何認識過程的不同，通�？梢詫⒔�(jīng)驗幾何的學習內(nèi)容，分成認識圖形、進行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換、在運動與變換中研究幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)三部分。度量幾何幾何學起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長度，而將二維圖形的大小用面積來表示，體積則是標志三維圖形大小的數(shù)。線段長度是一切度量的出發(fā)點。
長度的含義線段“兩端之間的距離”。所謂距離。羅蘭德（Rowland）首先使用光柵測量一公尺長度中的波長數(shù)。1960年以后，用激光定義“米”。
目前，國際上采用的長度單位，是在1983年10月確定的，即第十七屆國際權(quán)度大會重新把國際標準制（SI）中的長度單位──“米（meter）”定義為：光于299,792,458分之1秒內(nèi)在真空中所走的長度，稱為“米”。
如果可以用一個線段e衡量兩條線段M，N，使得M，N都是e的整數(shù)倍，我們稱兩個線段M，N是可公度的。
輾轉(zhuǎn)相除方法，用后次的an截取前次的an-1，即較長的那個線段減去短的那個線段，如此輾轉(zhuǎn)截取，直到兩個線段一樣長，這個長度就是公度量。古希臘的畢達哥拉斯學派，發(fā)現(xiàn)正方形的邊與其對角線不可公度3.周長“圓、橢圓或其它閉合的曲線的周界長度�！�
比”。
海倫-秦九韶公式
劉徽用割圓法求圓面積大膽地將極限思想和無窮小分割引入了數(shù)學證明。將圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷加倍，則它們與圓面積的差越來越小，其極限值就是所要求的圓面積。印度圓取兩個相等的圓，把它們等分成相同的若干個全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著）、展平成鋸齒條形然后，把兩個鋸齒形互相嵌入即成一個近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為.體積是指物質(zhì)或物體所占空間的大小。
�。�1）直接度量法。把一種叫做“單位正方體”的空間圖形盡可能地堆放在要度量的幾何體內(nèi)，如果被度量的幾何體恰好被a個正方體填滿，那么這個幾何體的體積就等于幾個單位體積。（2）間接度量法。量出被度量的幾何體中某些線段的長度，再利用有關(guān)公式計算出這個幾何體的體積�！懊娣e公理”與測度公理
既然圖形是一個集合，而相應(yīng)的圖形的面積是一個數(shù)，所以，面積是定義在“集合族”之上的一個函數(shù)。這個集合函數(shù)顯然是非負函數(shù)，而且正方形的面積是1。當然，兩個不重疊的圖形之并的面積，必須等于兩個圖形的面積之和。最后，如果圖形經(jīng)過移動、旋轉(zhuǎn)、反射，其面積應(yīng)該不變。這些性質(zhì)放在一起，就成為面積公理的內(nèi)容。對于周長一定的矩形來說，邊長相等時矩形面積最大，即正方形的面積最大。（2）對于面積一定的矩形來說，邊長相等時矩形周長最小，即正方形的周長最小。事實上，這個結(jié)論可以推廣為：在周長相等的情況下，越接近圓的圖形面積就越大，如，第四節(jié)變換幾何
變換就是一個集合到另一個集合的映射。幾何變換、變換群的概念
幾何變換，就是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程。它對于幾何學的研究有重要作用。
變換群。實際上是滿足一定條件的若干變換組成的集合：如果某種幾何變換的全體組成一個群，就有相應(yīng)的幾何學，而討論在某種幾何變換群下圖形保持不變的性質(zhì)與不變量，就是相應(yīng)幾何學的主要內(nèi)容。
在初等幾何中，變換主要包括全等變換，相似變換，反演變換。
全等變換
如果從平面(空間)到其自身的映射，對于任意兩點A、B和它們的像A/，B/總有A/B/=AB。則這個映射叫做平面（空間）的全等變換，或叫做合同變換。在平面內(nèi)存在兩種全等變換，第一種叫做正常全等變換第二種叫做反常全等變換（鏡像全等變換）,它把一個圖形變成與它反常全等的圖形,即對于兩個全等的圖形上每兩個對應(yīng)三角形有相反的方向，并且每兩個對應(yīng)的有向角有相反的方向。相似變換，第一種叫做真正相似變換（正相似變換），第二種叫做鏡像相似變換（負相似變換）。真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似(正相似)的圖形,即使得兩個相似圖形的每對對應(yīng)三角形有同一的方向,每對對應(yīng)角有同一方向。反演變換
在平面內(nèi)設(shè)有一半徑為R，中心為O的圓，對于任一個異于O點的點P，將其變從認知規(guī)律看，幾何學習的基本途徑,主要是四步：直觀感知→操作確認→演繹推理→度量計算。
歐幾里得與演繹幾何
公理化方法淵源于幾何學，而幾何學起源于埃及。
希臘數(shù)學家歐幾里得編成了《幾何原本》一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴謹，對于幾何學的發(fā)展和幾何學的教學都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學杰作。歐幾里得《原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認只有13卷。歐幾里得《原本》對于幾何直觀、演繹推理進行處理的利弊得失
《原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了。在訓練人的邏輯推理思維方面，換成該射線OP上一點P/，且使OP/OP=R，這個變換叫做平面反演變換。圓O叫做反演基圓，圓心O叫做反演中心或反演極，R叫做反演半徑或反演冪，反演變換將過反演中心的射線變成自身，且在此射線上建立對合對應(yīng)，它使位于圓內(nèi)的點變成圓外的點,位于圓外的點變成圓內(nèi)的點，反演中心變成平面內(nèi)的無限遠點。而反演圓上的點則保持不變�？臻g反演變換可以看作是平面反演變換繞反演基圓的直徑旋轉(zhuǎn)而得。反演變換下，將不過反演中心的直線或平面，分別變成過反演中心的圓或球面；將不過反演中心的圓或球面，分別變成另一個不過反演中心的圓或球面。反之，也成立。演變換是反向保角的，即使兩線（或兩面）所成的角度的大小保持不變，但方向相反。合同變換：平移，旋轉(zhuǎn)，反射平移、旋轉(zhuǎn)與反射的初步描述
圖形相似的思想方法體現(xiàn)在圖形相似的概念、性質(zhì)和處理問題的手段之中。我們可以將其歸結(jié)為如下五個方面：
�。�1）圖形相似問題的核心往往在于三角形相似與成比例線段，體現(xiàn)出化歸思想
�。�2）圖形相似是反映大自然奧秘的一個窗口，圖形相似在自然、社會和人類生活中具有廣泛的普適性。
�。�3）結(jié)構(gòu)相同，即“同構(gòu)”，是圖形相似的重要特征之一。相似可以幫助我們從局部來研究整體。
（4）圖形相似提供了認識三角形的另一個途徑，三角形相似的判別方法可以強化我們對三角形構(gòu)成元素的認識。
�。�5）借助必要的工具和手段是學好圖形相似的必要前提。平面圖形初等變換之間的關(guān)系
�。ㄒ唬┢揭�、旋轉(zhuǎn)、反射變換是全等變換
�。ǘ┢揭啤⑿D(zhuǎn)都可以由若干次反射（軸對稱）的復合而得到。
對于平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱（反射）來說，雖然三者都是全等變換，但是，容易發(fā)現(xiàn)，其中，軸對稱（變換）更為基本。
�。�1）對同一個圖形連續(xù)進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次平移；
（2）對同一個圖形連續(xù)進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結(jié)果等同于一次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中心就是兩條對稱軸的交點。反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉(zhuǎn)，可以通過連續(xù)的兩次軸對稱來完成。
�。�3）任意一個合同變換至多可表示為三個反射的乘積。第五節(jié)演繹幾何《原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個十分杰出的典范。正因為如此，自本書問世以來，思想家們?yōu)橹鴥A倒。公正地說，歐幾里得的這本著作是現(xiàn)代科學產(chǎn)生的一個主要因素�？茖W絕不僅僅是把經(jīng)過細心觀察的東西和小心概括出來的東西收集在一起而已�？茖W上的偉大成就，就其原因而言，一方面是將經(jīng)驗同試驗進行結(jié)合；另一方面，需要細心的分析和演繹推理�？梢钥隙ǖ卣f，這并非偶然。毫無疑問，像牛頓、加利略、白尼和凱普勒這樣的卓越人物所起的作用是極為重要的。也許一些基本的原因，可以解釋為什么這些出類拔革的人物都出現(xiàn)在歐洲，而不是東方。或許，使歐洲人易于理解科學的一個明顯的歷史因素，是希臘的理性主義以及從希臘人那里流傳下來的數(shù)學知識。對于歐洲人來講，只要有了幾個基本的物理原理，其他都可以由此推演而來的想法似乎是很自然的事。因為在他們之前有歐里得作為典范。
歐幾里得對牛頓的影響尤為明顯。牛頓的《數(shù)學原理》一書，就是按照類似于《原本》的“幾何學”的形式寫成的。自那以后，許多西方的科學家都效仿歐幾里得，說明他們的結(jié)論是如何從最初的幾個假設(shè)邏輯地推導出來的。許多數(shù)學家，像伯莎德羅素、阿爾弗雷德懷特海，以及一些哲學家，如斯賓諾莎也都如此。同中國進行比較，情況尤為令人矚目。多少個世紀以來，中國在技術(shù)方面一直領(lǐng)先于歐洲。但是，從來沒有出現(xiàn)一個可以同歐幾里得對應(yīng)的中國數(shù)學家。其結(jié)果是，中國從未擁有過歐洲人那樣的數(shù)學理論體系（中國人對實際的幾何知識理解得不錯，但他們的幾何知識從未被提高到演繹體系的高度）。直到1600年，歐幾里得才被介紹到中國來。此后，又用了幾個世紀的時間，他的演繹幾何體系才在受過教育的中國人之中普遍知曉。
如今，數(shù)學家們已經(jīng)認識到，歐幾里得的幾何學并不是能夠設(shè)計出來的惟一的一種內(nèi)在統(tǒng)一的幾何體系。在過去的150年間，人們已經(jīng)創(chuàng)立出許多非歐幾里得幾何體系。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經(jīng)認識到，在實際的宇宙之中，歐幾里得的幾何學并非總是正確的。便如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強烈。在這種情況下，歐幾里得的幾何學無法準確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當特殊的。在大多數(shù)情況下，歐幾里得的幾何學可以給出十分近似于現(xiàn)實世界的結(jié)論。不管怎樣，人類知識的這些最新進展都不會水削弱歐幾里得學術(shù)成就的光芒。也不會因此貶低他在數(shù)學發(fā)展和建立現(xiàn)代科學必不可少的邏輯框架方面的歷史重要性。愛因斯坦更是認為，“如果歐幾里得未激發(fā)你少年時代的科學熱情，那你肯定不是天才科學家�！庇纱丝梢姡对尽芬粫鴮θ祟惪茖W思維的影響是何等巨大。
從數(shù)學教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學不好，繼續(xù)前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此，往往要作輔助線，從而幾何被公認為難學的一門課程。值得一提的是，歐式幾何幾乎是歷次中外數(shù)學課程教學改革的焦點�！对尽穾缀醢酥行W所學習的平面幾何、立體幾何的全部內(nèi)容。如此古老的幾何內(nèi)容，自然成了歷次數(shù)學課程改革關(guān)注的焦點。其中，最為激進的，如法國布爾巴基學派主要人物狄奧東尼，甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但是，改來改去，歐幾里得幾何的一些內(nèi)容，仍然構(gòu)成了多數(shù)國家中小學數(shù)學幾何部分的主要內(nèi)容。有人稱之為“不倒翁現(xiàn)象”。這是因為，歐氏幾何從數(shù)學的視角，提供了現(xiàn)實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們?nèi)祟惖纳婵臻g，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關(guān)系。所以，這個模型的基本內(nèi)容是學生能夠理解和掌握的，而且應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)知識。它比三種幾何的關(guān)系
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此，這三種幾何都是正確的。在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準確一些。
義務(wù)教育階段幾何課程內(nèi)容的基本定位義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的特點簡析義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的特點與以往的綜合幾何課程設(shè)計風格相比，《數(shù)學課程標準》下的幾何已經(jīng)將直觀幾何和實驗幾何的觸角伸向了小學低年級，同時歐氏幾何的體系和內(nèi)容整體上還是基本保留的。只不過，具體的要求有所降低了，這種降低一方面體現(xiàn)在對推理幾何的難度要求有所限較適合中小學生學習，也有利于引導中小學生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。
盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學習價值，但在以往的教學中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如，內(nèi)容體系比較封閉，脫離實際，教學代價太大等等。①這些問題需要數(shù)學課程的設(shè)計者與數(shù)學教學的實踐者共同去面對、去解決。一條途徑是教學法方面的改進。首先是內(nèi)容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續(xù)學習發(fā)揮基礎(chǔ)作用的內(nèi)容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統(tǒng)，降低證明難度等等。其次是突出幾何事實與幾何應(yīng)用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。另一條途徑是，用近現(xiàn)代數(shù)學的觀點，高屋建瓴地處理傳統(tǒng)的內(nèi)容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。
從國際上數(shù)學課程改革的歷程來看，第二次世界大戰(zhàn)以后，特別是在上世紀60年代的“新數(shù)學”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何，成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發(fā)現(xiàn)圖形的幾何性質(zhì)。相關(guān)的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉(zhuǎn)以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應(yīng)思想的滲透，在某種意義上給傳統(tǒng)算術(shù)與代數(shù)注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數(shù)學觀點和更新的研究視野。
對第五公設(shè)是否獨立的研究導致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。
非歐幾何，即非歐幾里得幾何，是一門大的數(shù)學分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。廣義式泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。羅巴切夫斯基幾何
家羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止，肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨立無關(guān)的。黎曼幾何
歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經(jīng)過適當“改進”的球面。制，另一方面體現(xiàn)在，弱化了相似形和圓的證明部分。同時，弱化了的部分也還會在高中繼續(xù)出現(xiàn)。
新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的突出特點體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強調(diào)與學生生活的聯(lián)系；適當?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調(diào)學生的直觀體驗學習的方法；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的幾何推理的學習。
幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。
推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明（包括邏輯和運算）結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性。
直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計特點與綜合幾何的差異
與綜合幾何相比，直觀幾何、實驗幾何有著更現(xiàn)實的意義和課程設(shè)計的特色：
1．不同的課程目標和價值取向
從課程設(shè)計的角度看，直觀幾何與實驗幾何更接近于認知發(fā)展取向的課程設(shè)計模式，而綜合幾何屬于典型的學術(shù)主義價值取向的課程設(shè)計模式。
2．不同的教育學、心理學基礎(chǔ)和不同的師生關(guān)系
以論證為主的綜合幾何課程設(shè)計，立足于行為主義心理學，主張師生之間建立“以教為主、以教促學”的師生關(guān)系。相比之下，直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計觀認為，有意義的幾何教學應(yīng)當建立在學生的主觀意愿和知識、經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，依賴學生的動手實踐、自主探索和交流合作，教師在教學中的角色應(yīng)該定位在學習的組織者、引導者和合作者、參與者，注意學生在學習中所處的不同文化環(huán)境、教室文化、社區(qū)文化、家庭文化及自身思維模式的共性與差異，師生之間、學生之間應(yīng)該努力構(gòu)建一種和諧、互動的新關(guān)系。
3．不同的課程設(shè)計風格
在課程論中，課程有學科型課程與經(jīng)驗型課程之分。除了學科型課程和經(jīng)驗型課程外，大多數(shù)課程介于兩者之間。直觀幾何、實驗幾何屬于典型的經(jīng)驗型課程，而綜合幾何屬于典型的學科型課程。當前，我國實行的義務(wù)教育課程標準實驗教科書大多介于學科型課程與經(jīng)驗型課程之間，只不過，有的更靠近后者，即比較“前衛(wèi)”，而有的更靠近前者，“中規(guī)中矩”。
4．不同的教學要求
在直觀幾何、實驗幾何課程實施過程中，學生的直觀感受和幾何活動經(jīng)驗是學習的基本出發(fā)點和必不可少的載體，而且直觀教學變得十分重要。在這種課程設(shè)計時，有的是在抽象的學科主線中不斷閃現(xiàn)出內(nèi)容豐富的情景問題，有的是把豐富的情景問題沿幾何的主線逐步鑲嵌與展開。幾何學是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的科學，培養(yǎng)和提高學生識圖、作圖能力是學好幾何的必要環(huán)節(jié)。因而，在直觀幾何、實驗幾何課程設(shè)計模式下，采用直觀教學至關(guān)重要，可使學生一開始便進入到直觀教學所創(chuàng)設(shè)的情盡管全國初中數(shù)學課程標準實驗教科書彼此之間都有差異，但是，發(fā)展幾何直觀與推理
能力是普遍趨勢。第三章統(tǒng)計與概率
準確理解數(shù)學、概率、統(tǒng)計之間的關(guān)系
（一）研究問題的出發(fā)點不同數(shù)學研究的對象是從現(xiàn)實生活中抽象出來的數(shù)和圖形。數(shù)學研究問題必須有定義，即數(shù)學研究問題的出發(fā)點是定義，沒有定義無法進行數(shù)學的研究。統(tǒng)計研究所依賴的是模型，構(gòu)建一些模型的基礎(chǔ)上進行研究。但是，統(tǒng)計與數(shù)學有著密切的聯(lián)系，我們拿來數(shù)學的很多知識、思想方法作為統(tǒng)計分析的工具。
�。ǘ┭芯繂栴}的立論基礎(chǔ)不同從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系這個角度考慮，數(shù)學是建立在概念和符號的基礎(chǔ)上的。而統(tǒng)計學是建立在數(shù)據(jù)和模型的基礎(chǔ)上，雖然概念和符號對于統(tǒng)計學的發(fā)展也是重要的，但是統(tǒng)計學在本質(zhì)上是通過數(shù)據(jù)和模型進行推斷的。
境之中，耳濡目染，受到感染，教師若采用圖片直觀，便可展現(xiàn)情景，給學生以鮮明生動的形象，學生的注意力很快被吸引到圖片所展示的情境中。如何理解初中幾何及推理
新理念下義務(wù)教育階段幾何課程設(shè)計的突出特點體現(xiàn)為：以“立體平面立體”為主要線索，強調(diào)與學生生活的聯(lián)系；適當?shù)赝貙捇顒宇I(lǐng)域，包括圖形的認識，圖形的變換，圖形與位置等方面；以實際操作、測量、簡單推理為具體處理方式，強調(diào)學生的直觀體驗（幾何課與實際活動課有天然的聯(lián)系）學習的方法（即“操作”+“推理”）；注重發(fā)展的空間觀念，發(fā)展對圖形的審美能力；強調(diào)幾何真理的發(fā)現(xiàn)和幾何論證并舉，主張建立在幾何直觀和豐富幾何活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的幾何推理的學習。
初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關(guān)鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何，但包含一點點說理，而九年級已經(jīng)是綜合幾何、推理幾何，雖然其公理體系與歐式公理體系有所不同。
在義務(wù)教育數(shù)學課程標準下，“圖形與幾何”主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。
在“圖形與幾何”的核心課程教學在于：幫助學生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學生的幾何直觀與推理能力。
如何理解初中幾何的核心目標發(fā)展幾何直觀與推理能力
在“圖形與幾何”的教學中，應(yīng)幫助學生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學生的幾何直觀與推理能力�？臻g觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言描述畫出圖形等。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實出發(fā)，按照規(guī)定的法則證明結(jié)論。在解決問題的過程中，合情推理有助于探索解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論的正確性�；诖耍稊�(shù)學課程標準》把認識或把握空間與圖形作為主旋律，以圖形的認識、圖形與變換、圖形與位置（坐標）、圖形與證明四條線索展開空間與圖形的內(nèi)容。
（三）研究問題的方法不同與概念和符號相對應(yīng)，數(shù)學的推理依賴的是公理和假設(shè)，是一個從一般到特殊的方法，而統(tǒng)計學的推斷依賴的是數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，強調(diào)根據(jù)背景尋找合適的推斷方法，是一個從特殊到一般的方法。
（四）研究問題的判斷原則不同數(shù)學在本質(zhì)上是確定性的，它對結(jié)果的判斷標準是對與錯，從這個意義上說，數(shù)學是一門科學，而統(tǒng)計學是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，即便是同樣的數(shù)據(jù)，也允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果，統(tǒng)計學對結(jié)果的判斷標準是好與壞，從這個意義上說，統(tǒng)計學不僅是一門科學，也是一門藝術(shù)。
數(shù)理統(tǒng)計方法的基本步驟建立數(shù)學模型，收集整理數(shù)據(jù)，進行統(tǒng)計推斷、預(yù)測和決策。當然，這些環(huán)節(jié)不能截然分開，也不一定按上述次序，有時是互相交錯的。
�。�1）模型的選擇和建立。模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識、所研究問題的專業(yè)知識、以往的經(jīng)驗以及從總體中抽取的樣本。
（2）數(shù)據(jù)的收集。其方法主要包括全面觀測、抽樣觀測和安排特定的實驗3種方式。全面觀測又稱普查，即對總體中每個個體都加以觀測，測定所需要的指標。抽樣觀測又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測定其有關(guān)的指標值。這方面的研究內(nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計的一個分支學科。叫抽樣調(diào)查。
�。�3）安排特定實驗以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實驗要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進行分析。
�。�4）數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來。一種形式是制定適當?shù)膱D表，如散點圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢。另一種形式是計算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡單描述性統(tǒng)計量。
�。�5）統(tǒng)計推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，做出有關(guān)總體分布的某種論斷。數(shù)據(jù)的收集和整理是進行統(tǒng)計推斷的必要準備，統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計學的主要任務(wù)。
�。�6）統(tǒng)計預(yù)測。統(tǒng)計預(yù)測的對象，是隨機變量在未來某個時刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對該變量進行觀測時將取的值。
（7）統(tǒng)計決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計推斷或預(yù)測，并考慮到行動的后果而制定的一種行動方案。初中統(tǒng)計與概率的課程內(nèi)容主要內(nèi)容包括：
描述統(tǒng)計的進一步擴展----描述統(tǒng)計的基本目標在于以最簡單而直觀的形式最大限度地容納有用的數(shù)據(jù)。
滲透數(shù)理統(tǒng)計思想----數(shù)理統(tǒng)計與描述統(tǒng)計的根本區(qū)別在于總體與樣本概念的引入，它的基本思想是通過對樣本的分析來推斷總體的特性。這部分的一個核心的內(nèi)容是抽樣，如何抽樣、抽樣的過程、樣本的多少是收集數(shù)據(jù)的一個關(guān)鍵問題。學習概率的初步內(nèi)容-----包括運用列表、畫樹狀圖、制作面積模型、簡單計算等方法得到一些事件發(fā)生的概率；通過實驗，獲得事件發(fā)生的頻率；知道大量重復實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值；通過大量豐富的實例，進一步豐富對概率的認識，并能解決一些實際的問題。
普查：為了一定的目的而對考察對象進行的全面調(diào)查，稱為普查.總體：所考察對象的全體稱為總體。個體：組成總體的每一個考察對象稱為個體。抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個體進行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查。樣本：從總體中抽取部分個體叫做總體的一個樣本。樣本容量：樣本中個體的數(shù)量叫樣本容量。隨機事件和樣本空間
在一定條件實現(xiàn)后，可能產(chǎn)生也可能不產(chǎn)生的現(xiàn)象，人們稱之為隨機現(xiàn)象。具備以下三個特點的試驗稱為隨機試驗：
信息。眾數(shù)只與其在數(shù)據(jù)中重復的次數(shù)有關(guān)，而且往往不是唯一的。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)信息，而且當各個數(shù)據(jù)的重復次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。數(shù)據(jù)的離散程度
極差是指一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差。它可以反映一組數(shù)據(jù)的變化范圍。方差是指一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)之差的平方和的平均數(shù)。
樣本數(shù)據(jù)的方差和標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。加權(quán)平均數(shù)的概念
加權(quán)平均數(shù)是不同比重數(shù)據(jù)的平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)就是把原始數(shù)據(jù)按照合理的比例來計算，即一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)乘以它的權(quán)重后所得積的總和。平均數(shù)稱之為算術(shù)平均數(shù)，是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊情況，加權(quán)平均數(shù)包含算術(shù)平均數(shù)，
(1)可在相同條件下重復進行；
〔2)每次試驗可出現(xiàn)不同的結(jié)果，最終出現(xiàn)哪種結(jié)果，試驗之前不能確定；
(3)事先知道試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果。隨機事件隨機試驗的每一個可能的結(jié)果稱為一個隨機事件
樣本空間由樣本空間的子集可描述隨機試驗中所對應(yīng)的一切隨機事件。數(shù)據(jù)的收集
數(shù)據(jù)收集方法有兩種：調(diào)查和實驗。在現(xiàn)實生活中原來就有的數(shù)據(jù)，人們通過調(diào)查獲得，例如，普查，即為一特定目的而對所有考察對象的全面調(diào)查；抽樣調(diào)查，即為一特定目的而對部分考察對象作調(diào)查。三種常用抽樣方法是：隨機抽樣法、分層抽樣法和系統(tǒng)抽樣法。
數(shù)據(jù)的隨機性主要有兩層涵義：
一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；
另一方面，只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)的整理和分析
數(shù)據(jù)分析觀念主要體現(xiàn)在三個方面：
第一，了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中是蘊含著信息的；
第二，了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以用多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；
第三，通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性。
理解兩種估計方法，一種是用樣本的頻率分布來估計總體的分布，另一種是用樣本的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）和離散程度（極差、方差、標準差）來估計總體的集中程度和離散程度。頻數(shù)和頻率
我們稱每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，也稱次數(shù)。頻數(shù)也稱“次數(shù)”，對總數(shù)據(jù)按某種標準進行分組，統(tǒng)計出各個組內(nèi)含個體的個數(shù)。而頻率則每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值。數(shù)據(jù)的集中趨勢在統(tǒng)計學中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點的位置所在。反映數(shù)據(jù)集中趨勢的度量包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是用這組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的總個數(shù)得到的值。中位數(shù)，就是將這組數(shù)據(jù)從小到達排列后，位于正中間的數(shù)（或中間兩個數(shù)的平均數(shù)）。眾數(shù)，是指一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別
聯(lián)系：從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。區(qū)別：計算平均數(shù)時，所有數(shù)據(jù)都參加運算，它能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，但容易受極端值的影響。它應(yīng)用最為廣泛。中位數(shù)的優(yōu)點是計算簡單，只與其在數(shù)據(jù)中的位置有關(guān)。但不能充分利用所有的數(shù)據(jù)當加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)相等時，就是算術(shù)平均數(shù)。
統(tǒng)計表不僅反映某一類事物的具體數(shù)據(jù)，而且還能說明有關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。統(tǒng)計圖是借助于幾何線、形(線段、長方形、三角形、圓形等)以及事物的形象等形式，顯示收集到的數(shù)據(jù)信息，直觀地反映其規(guī)模、水平、構(gòu)成、相互關(guān)系、發(fā)展變化趨勢和分布狀況，即是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的圖形。條形圖是以簡單的幾何圖形，即等寬條形的長短或高低來比較數(shù)據(jù)所隱含信息的統(tǒng)計圖示法分為單式條形圖、復式條形圖、分段條形圖、對稱條形圖、距限條形圖、累積條形圖等。
直方圖有兩種，頻數(shù)直方圖和頻率直方圖。頻數(shù)直方圖與頻率直方圖既有聯(lián)系，又有區(qū)別。
扇形圖用圓和扇形分別表示關(guān)于總體和各個組成部分數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。扇形圖能直觀地、生動地反映各部分在總體中所占的比例。
扇形統(tǒng)計圖具有四個特點：
一是利用圓和扇形來表示總體和部分的關(guān)系，
二是圓代表總體，各個扇形分別表示總體中不同的部分；
三是扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，
四是各個扇形所占的百分比之和為1；最后，在不同的統(tǒng)計圖中，不能簡單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小。折線統(tǒng)計圖
用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來，折線統(tǒng)計圖不但可以表示出數(shù)量的多少，還能夠清楚地表示出數(shù)量的增減變化情況，并且可以進行簡單的預(yù)測。折線統(tǒng)計圖可分為單式折線圖或復式折線圖。統(tǒng)計是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納的研究，而概率是對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律演繹的研究，在解決實際問題時，二者是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的
隨機事件的概率，實質(zhì)上是指在客觀世界中，這個事件發(fā)生可能性大小的一個數(shù)量刻畫。
概率的定義
頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)在全部試驗次數(shù)中占的比例，所以頻率能夠反映該事件發(fā)生的可能性大小。即一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是趨近某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).概率的公理化定義樣本點全集叫做必然事件，空集叫做不可能事件。正確理解隨機性與概率
�。�1）隨機性和規(guī)律性。
�。�2）概率和機會。從某種意義說來，概率描述了某件事
情發(fā)生的機會
�。�3）有些概率是無法精確推斷的。
（4）有些概率是可以估計的。隨機結(jié)果也具有規(guī)律，而且有可能通過試驗等方法來推測其規(guī)律。我們就是要通過觀測數(shù)據(jù)，在隨機性中尋找用概率和數(shù)學模型描述的規(guī)律性
小概率原理是統(tǒng)計檢驗（統(tǒng)計中的反證法）的基礎(chǔ)和依據(jù)。小概率原理是指在一次試驗中，小概率事件幾乎不可能發(fā)生�！稊�(shù)學課程標準》認為，“統(tǒng)計與概率”應(yīng)當是初中課程內(nèi)容的重要組成部分。不僅如此，《數(shù)學課程標準》將“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容從第一學段連續(xù)編排到初中，并且規(guī)定，在初中，學生將從事數(shù)據(jù)的收集、整理與描述的過程，體會抽樣的必要性以及用樣本估計總體的思想，進一步學習描述數(shù)據(jù)的方法，進一步體會概率的意義，能計算簡單事件發(fā)生的概率。《大綱》沒有涉及“概率”內(nèi)容，僅僅在初中階段引入“統(tǒng)計初步”，并且將“統(tǒng)計初步”放入“代數(shù)的第（十三）部分”在《大綱》中，“統(tǒng)計初步”的定位是：使學生了解統(tǒng)計的展這一活動，有以下幾個步驟：
第一，學生觀察一件物體或一種現(xiàn)象，或者操作某些學具。
第二，學生在研究所觀察的物體或現(xiàn)象的過程中進行思考，與同伴進行討論和交流，以彌補他們在單純的觀察和操作活動中的不足。
第三，老師按一定的順序給學生們推薦活動，學生可從中作出選擇并實施這些活動，學生在選擇中有較強的自主性。
第四，這一活動可以以課內(nèi)外相結(jié)合的形式進行，學生每周至少花兩個小時進行同一個主題的活動，并應(yīng)保證這些活動在整個學習進程中的持續(xù)性和穩(wěn)定性。
第五，每個學生都記錄活動過程。通過這一活動，學生逐漸學會操作，同時加強和鞏固口頭和書面表達能力，發(fā)展解決問題的能力，增進對數(shù)學的理解力。如何理解數(shù)學研究性學習
思想，掌握一些常用的數(shù)據(jù)處理方法，能夠用統(tǒng)計的初步知識解決一些簡單的實際問題。簡單的平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)
所謂加權(quán)平均數(shù)，是指各個數(shù)據(jù)的“份量”不同，有的重要些，有的輕些，將它們的重要性用“權(quán)重”表示，即加上各個數(shù)據(jù)在全體數(shù)據(jù)中占有的比例（頻率）再作和。數(shù)學期望的定義事前預(yù)期的好處，就叫做這件事情的期望值。第四章實踐與綜合
設(shè)置“實踐與綜合”領(lǐng)域目的在于體現(xiàn)其橋梁作用（即，數(shù)學不同領(lǐng)域之間的橋梁作用以及數(shù)學與外部之間橋梁作用）和綜合價值，綜合運用數(shù)學知識、技能、思想、方法等解決現(xiàn)實問題，幫助學生積累直接的數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展學生的綜合能力。關(guān)于“實踐與綜合”的教育價值和課程目標
教育價值實踐與綜合領(lǐng)域的存在，溝通了現(xiàn)實世界中的數(shù)學與課堂上的數(shù)學之間的聯(lián)系。另一方面，綜合應(yīng)用數(shù)學解決問題也必將給學生的學習方式帶來改變。使學生發(fā)展了意志力、自信心和不斷質(zhì)疑的態(tài)度，發(fā)展了運用數(shù)學進行思考和交流的能力。
課程目標《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準》對這個領(lǐng)域的課程設(shè)計提出了的總的要求：幫助學生綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，以發(fā)展他們解決問題的能力，加深對“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的理解，體會各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系�！皩嵺`與綜合”在不同階段不同的呈現(xiàn)形式第一學段以“實踐活動”為主題，第二學段以“綜合應(yīng)用”為主題，第三學段(即初中階段)以“課題學習”為主題。
在初中數(shù)學中，課題學習的主要形式有三種基本方式：
數(shù)學小調(diào)查。數(shù)學小調(diào)查是指學生在教師指導下，從學習生活和社會生活中選擇和確定調(diào)查專題，主動獲得信息、分析信息并做出決策的學習活動。數(shù)學調(diào)查可以包括三個階段，第一，進入問題情境階段；第二，收集信息的階段；第三，表達和交流階段。這種活動具有開放性、問題性和社會性的特點。
小課題研究�；顒踊具^程如下：各小組確定活動目標；根據(jù)目標確定本組活動內(nèi)容；在老師指導下實際調(diào)查。合作交流。
動手做(Handson)的活動。意思是動手活動，目的在于讓學生以更科學的方法學習知識，尤其強調(diào)對學生學習方法、思維方法、學習態(tài)度的培養(yǎng)。基本過程是：提出問題動手做實驗觀察記錄解釋討論得出結(jié)論表達陳述。具體地說，開
數(shù)學研究性學習主要針對我國中學教育中出現(xiàn)的若干弊端，為實施以創(chuàng)新精神和實踐能力為重點的素質(zhì)教育而提出來的，其根本目的是讓學生親歷研究過程，獲得對客觀世界的體驗和正確認識，通過自由、自主的探究過程，綜合性地提高整體素質(zhì)和能力。因此，研究性學習的重點在“學習”，研究是手段、途徑，而不是目的。數(shù)學研究性學習的內(nèi)涵
以培養(yǎng)學生的數(shù)學創(chuàng)新意識和實踐能力為目的，它主要通過與數(shù)學學科內(nèi)容相關(guān)的課題，在教師的指導下，學生為主體地參與、體驗問題提出和解決的全過程。使學生不但發(fā)展了思維能力，而且逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學科學研究的基本過程和方法，提高學生的科數(shù)學研究性學習的目的
1.讓學生經(jīng)歷科學研究的過程，獲得親身參與研究和探索的體驗。
2.了解科學研究的方法，提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。
3.學會與人溝通和合作，學會分享。合作的意識和能力，是現(xiàn)代人所應(yīng)具備的基本素質(zhì)，而研究性學習提供了一個有利于人際溝通與合作的良好空間。
4.增強探究和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)科學態(tài)度、科學精神和科學道德。在研究性學習的過程中，學生不可避免地會遇到一系列的問題和困難，學生必須學會從實際出發(fā)，通過認真踏實地探究，事實求是地得出結(jié)論，并且養(yǎng)成尊重他人的想法和成果的正確態(tài)度，同時培養(yǎng)不斷追求的進取精神、嚴謹?shù)目茖W態(tài)度、克服困難的意志品質(zhì)等。
5.培養(yǎng)學生對社會的責任心和使命感形成積極的人生態(tài)度。
6.促進學生學習，掌握和運用一種現(xiàn)代學習方式。
7.激活各科學習中的知識儲備，嘗試相關(guān)知識的綜合運用。8.促進教師教學觀念和教學行為的變化，提升教師的綜合素質(zhì)，培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力，推進素質(zhì)教育的全面實施。
初中數(shù)學研究性學習主題分為建模探究型、圖表探究型、調(diào)查探究型、開放探究型四種類型。
�。�1）建模探究型：以學生動手操作、合作探討、設(shè)計制作模型為主，教師給予指導、總結(jié)、評價。
�。�2）圖表探究型：以學生觀察、分析數(shù)學圖表、探究解決問題的方法為主，教師提示結(jié)合相關(guān)知識分析、探究、解決問題。例如，數(shù)學圖表的制作：“制作人口圖”。
（3）開放探究型：以學生自主分析、小組討論交流、大膽猜想、探究論證為主，教師給予必要的概括、提升和拓展。例如，趣味數(shù)學問題：猜想、證明、拓廣。
�。�4）調(diào)查探究型：以學生調(diào)查實踐、自主分析、探究實踐的方式和方法為主，教師適時引導、提示、總結(jié)。數(shù)學研究性學習的特點
1.探究性。探究是人類認識世界的一種基本方式，處于基礎(chǔ)教育階段的初中生對外部
世界仍充滿強烈的新奇感和探究欲，數(shù)學研究性學習正好適應(yīng)學習者個體發(fā)展的需要和認識規(guī)律。
2.全員參與性。研究性學習主張全體學生的積極參與，它有別于培養(yǎng)天才兒童的超常教育。全員參與的另一層含義是共同參與。研究性學習的組織形式是獨立學習與合作學習的結(jié)合，其中合作學習占有重要的地位。
3.開放性。數(shù)學研究性學習是一種開放性、參與性的教學形式，為了研究有關(guān)生活中的數(shù)學問題或從數(shù)學角度對其它學科中出現(xiàn)的問題進行研究。
4.過程性。要求學生把自己所得出的結(jié)論運用到現(xiàn)實生活中去，解決現(xiàn)實生活中涉及到的數(shù)學問題，強調(diào)學生參與的過程。
5.應(yīng)用性。學以致用是研究性學習的又一基本特征。研究性學習重在知識技能的應(yīng)用，而不在于掌握知識的量。
6.體驗性。研究性學習不僅重視學習過程中的理性認識，如方法的掌握、能力的提高等，還十分重視感性認識，即學習的體驗。數(shù)學研究性學習的實施保持和進一步提高學習數(shù)學的積極性。
�。�3）在實施過程中，要采取有效的手段對學習活動進行監(jiān)控；指導學生寫好研究數(shù)學日記，及時記載研究情況，真實記錄個體體驗，為以后進行和評價提供依據(jù)。
�。�4）要爭取家長和社會有關(guān)方面的關(guān)心、理解和參與，與學生一起開發(fā)對實施研究性學習有價值的校內(nèi)外教育資源，為學生開展研究性學習提供良好條件。
�。�5）能夠根據(jù)學校與班級實施研究性學習的不同目標定位和主客觀條件，在不同時段選擇不同的切入口，形成不同年級的操作特點。
數(shù)學模型一般是指由數(shù)字、字母或其它數(shù)學符號組成的，描述現(xiàn)實對象(原型)數(shù)量規(guī)律和空間特征的數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學模型可以敘述為：對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了實施要求：
�、偃珕T參與，而非只關(guān)注少數(shù)數(shù)學尖子學生競爭，給每個學生有鍛煉與參與的機會；
②任務(wù)驅(qū)動。要向?qū)W生提出有明確具體要求的任務(wù)，發(fā)揮它對學生學習過程的引導作用；
③重在學習過程而非研究的結(jié)果；
�、苤卦谥R技能的應(yīng)用而非掌握知識的數(shù)量；
�、葜卦谟H身參與探索性實踐活動，獲得感悟和體驗，而非一般地接受別人傳授的經(jīng)驗；
�、扌问缴响`活多樣，強調(diào)課內(nèi)外結(jié)合。數(shù)學研究性學習模式有三種：
（1）理論實踐模式。是指師生在共同學習研究性學習理論的基礎(chǔ)上，學生運用數(shù)學理論來研究、解決數(shù)學問題，體驗研究性學習課程理論的價值，提高綜合能力的一種教學模式。
（2）數(shù)學問題探討模式。師生圍繞數(shù)學問題的分析與探討展開的教學活動，構(gòu)成了問題探討教學模式。其基本理念在于：以激勵、強化學生在教學過程中的主體參與意識為著眼點，以幫助學生學會學習，學會發(fā)現(xiàn)和分析問題，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性解決問題的能力為宗旨，創(chuàng)設(shè)一種開放而又活潑的學習氛圍。其教學策略是：將問題或案例呈現(xiàn)給學生，引導學生共同探討，構(gòu)建師生平等、互動的學習環(huán)境。
一般來說，教師要選擇典型的數(shù)學問題或案例，不可平鋪直敘地搬給學生，而要創(chuàng)造性地加以取舍，主動設(shè)疑，引導學生學會思考，提高學生的學習數(shù)學能力。
�。�3）數(shù)學課題研究模式。數(shù)學課題研究模式是指教師提供課題或由學生根據(jù)興趣設(shè)計研究課題，并在教師的指導下自主探索、實施研究計劃、完成課題目標、提高社會實踐能力的一種教學模式。
組織形式有三種類型：小組合作研究、個人獨立研究、全班集體研究。其中一致認為小組合作研究是最基本、最有效、經(jīng)常被采用的一種組織形式。數(shù)學研究性學習實施的一般程序
一般可以分為三個階段：
（1）進入問題情境階段（準備階段）。主要任務(wù)是背景知識的準備；指導學生確定數(shù)學研究課題；組織課程小組、制定研究方案。
�。�2）實踐體驗階段（實施階段）。本階段學生要進入具體的解決問題過程。
�。�3）表達交流階段（結(jié)題階段）。學生將自己或小組經(jīng)過實踐、體驗所取得的收獲進行歸納整理、總結(jié)提煉，形成書面或口頭報告材料，得出結(jié)論，并進行成果交流和總結(jié)反思。數(shù)學研究性學習實施中的教師指導
（1）在初中不同的學段和年級，教師的指導工作內(nèi)容和方法應(yīng)該有所不同。
�。�2）在數(shù)學研究性學習實施過程中，教師要及時了解學生開展活動的情況，有針對性地進行指導、點撥；要組織靈活多樣的交流、研討活動，促進學生自我教育，幫助他們
一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)后，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學建模教學的目
使學生體會數(shù)學與自然及人類社會的密切聯(lián)系，體會數(shù)學的應(yīng)用價值，培養(yǎng)數(shù)學的應(yīng)用意識，增進對數(shù)學的理解和應(yīng)用數(shù)學的信心；使學生學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中的問題，進而形成勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神；使學生學會以數(shù)學建模為手段，激發(fā)學習數(shù)學的積極性，團結(jié)合作，建立良好的人際關(guān)系、相互合作的工作能力；以數(shù)學建模方法為載體，使學生獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學事實以及基本的思想方法和必要的應(yīng)用技能。數(shù)學建模的教學意義
1.培養(yǎng)學生合作學習的能力合作能力是信息社會中每個人必須具備的基本素質(zhì)。
2.培養(yǎng)學生處理信息的能力數(shù)學建�；顒觿t為學生學習如何選擇信息、獲取信息和加工信息提供了一個有效的途徑。
3.有利于學生形成正確的數(shù)學觀數(shù)學建模活動的開展使學生形成正確的數(shù)學觀成為可能。
4.有利于學生體驗數(shù)學與生活、數(shù)學與其它學科的聯(lián)系
5.激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣
6.發(fā)展學生的創(chuàng)新意識數(shù)學建模的具體實施1.選題
鼓勵學生自主提出問題，可以從以下幾個方面人手：
�、僮寣W生了解選題的重要性和基本要求，
�、谥笇W生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗尋找課題，也可由教師介紹往屆學生的選題并加以點評，或者請本班同學介紹自己的選題計劃，教師和學生一起分析其可行性，
�、劢處焺�(chuàng)設(shè)一個問題環(huán)境，引導學生自主提出問題、確定課題。這時教師的指導應(yīng)該是有啟發(fā)性的，不要代替學生確定課題，而是啟發(fā)學生自己去延展、開拓問題鏈，讓學生自己提出要解決的問題和解決問題的方案。
2.實施
在課題學習的實施中，我們強調(diào)開放學生的思維，強化過程體驗，師生和生生的情感交流和成果共享。
3.指導
在課題學習中，教師如何指導學生，這是一個令不少教師感到困惑甚至苦惱的問題。課題學習過程中，問題形式與內(nèi)容的變化，問題解決方法的多樣性、新奇性，問題解決過程的不確定性，結(jié)果呈現(xiàn)層次的豐富性，無疑是對參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題面前感到困難，失去相對于學生的優(yōu)勢是自然的、常常出現(xiàn)的。
4.評價
評價過程具體涉及以下幾個方面：
�、僬{(diào)查、求解的過程和結(jié)果要合理、清楚、簡捷；
�、谝凶约邯毜降乃伎己桶l(fā)現(xiàn)；
�、勰軌蚯‘�?shù)厥褂霉ぞ?如網(wǎng)絡(luò)和計算工具)；
④采用合理、簡捷的算法；
�、萏岢鲇袃r值的求解設(shè)計和有見地的新問題；
�、薨l(fā)揮每個組員的特長，合作學習得有效果。5.建立和擴張資源
對教育資源的認識應(yīng)該走出靜態(tài)的誤區(qū)，要看到身邊許多動態(tài)的教育教學資源。此外，通過查找相關(guān)的刊物和網(wǎng)站也可以發(fā)現(xiàn)大批的可用資源。我們還應(yīng)有意識地建立自己個性化的信息資源庫，它包括：前幾屆學生做的課題成果，如論文、研究報告、程序、制作的作品，以及活動過程的照片、研究課的錄音或錄像、其它學校學生的優(yōu)秀成果等。生和發(fā)展而成。這種抽象可以脫離具體的實物模型，形成一種具有層次性的體系。形式化使用特定的數(shù)學符號來表示數(shù)學概念，使概念形式化。邏輯化在一個特定的數(shù)學體系中，孤立的數(shù)學概念是不存在的，它們之間往往存在著某種關(guān)系；這些關(guān)系稱之為數(shù)學概念的邏輯關(guān)系。這種邏輯關(guān)系使得數(shù)學概念系統(tǒng)化、公理化。簡明化數(shù)學概念具有高度的抽象性，借助數(shù)學符號語言，使得一定事物的本質(zhì)簡明的形式表現(xiàn)出來，這種簡明化使人們在較短時間內(nèi)領(lǐng)會。概念的外延與內(nèi)涵
概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。
一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延是指適合這個概念的一切對象，即符合這一概念所有對象的集合。換言之，是指這個概念的延用范圍。一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。概念的內(nèi)涵是說一個概念所反映的事物培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識、數(shù)學應(yīng)用能力
實際教學中要強調(diào)學生的自主探索、合作交流和操作實踐等學習方式。
�。�1）充分發(fā)揮學生的主體性。在學習過程中，教師可以向?qū)W生推薦活動，讓學生在選擇中有較強的自主性；同時，讓學生獨立思考和合作交流，在此基礎(chǔ)上教師進行有針對性的指導。
�。�2）強凋?qū)W生學習方法、思維方法、學習態(tài)度的養(yǎng)成，關(guān)注學生的學習過程。課題學習活動強調(diào)學生主動學習，不宜強調(diào)對知識的學習，而且更重要的是強調(diào)學生對學習方法、思維方法、學習態(tài)度的養(yǎng)成。
�。�3）創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情景，鼓勵學生思考方法的多樣化。在課題學習活動過程中，教師應(yīng)當鼓勵與尊重學生的獨立思考，引導學生進行討論與交流，培養(yǎng)學生良好的思考習慣和合作意識。鼓勵算法多樣化，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維是十分必要的。
�。�4）對課題學習的評價應(yīng)該以質(zhì)的評價為主。一般說來，對學生實踐與綜合應(yīng)用活動的評價要強調(diào)過程性評價。重點在于促進學生創(chuàng)新精神的培養(yǎng)和實踐能力的提高，具備與人溝通及有良好的人際交往能力。而不是把學生貼上優(yōu)秀、良好、不及格的標簽。數(shù)學研究性學習的評價對建立學生發(fā)展性評價有哪些有益的啟示
（1）研究性學習評價更重視過程。研究性學習評價學生研究成果的價值取向重點是學生的參與研究過程。
（2）研究性學習評價更重視理解中的應(yīng)用。強調(diào)的是學生把學到的基礎(chǔ)知識、掌握的基本技能，應(yīng)用到實際問題的提出和解決中去既促進學生對知識價值的反思，又加深對知識內(nèi)涵理解和掌握，形成知識的網(wǎng)絡(luò)和結(jié)構(gòu)。3）研究性學習評價強調(diào)學生在探究過程中的體驗。
（4）研究性學習評價更重視全員參與。研究性學習的價值取向強調(diào)每個學生都有充分學習的潛能，為他們進行不同層次的研究性學習提供了可能性，也為個別化的評價方式創(chuàng)造了條件。第五章初中數(shù)學的邏輯基礎(chǔ)
客觀事物都有各自的許多性質(zhì)，或者稱為屬性。經(jīng)過比較、分析、綜合、概括，抽象出一種事物所獨有而其它事物所不具有的屬性，稱為這種事物的本質(zhì)屬性。反映事物本質(zhì)屬性的思維形式叫做概念。數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。反映數(shù)學對象的本質(zhì)屬性的思維形式叫做數(shù)學概念。數(shù)學概念具有抽象化、形式化等鮮明的特點。
抽象化數(shù)學概念反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。有些可以直接從客觀事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映得來，而大多數(shù)概念排除對象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性，甚至在已有數(shù)學概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過多級的抽象過程才產(chǎn)的本質(zhì)屬性。
概念的內(nèi)涵和外延之間相互依存，二者是一對矛盾，共處于統(tǒng)一體的概念之中。它們之間有著相互依存、相互制約的關(guān)系。概念反映了事物的本質(zhì)屬性，也就反映了具有這種本質(zhì)屬性的事物。一個概念所反映的對象的總和，稱為這個概念的外延。一個概念所反映的對象的本質(zhì)屬性的總和稱為這個概念的內(nèi)涵。一個概念的內(nèi)涵和外延分別從質(zhì)和量兩個方面刻劃了這個概念，每個概念都是其內(nèi)涵與外延的統(tǒng)一體．概念的內(nèi)涵嚴格確定了概念的外延，反之，概念的外延完全確定了概念的內(nèi)涵。概念的外延和內(nèi)涵是主觀對客觀的認識，由于人們對客觀事物的認識是發(fā)展變化的，概念的外延和內(nèi)涵必然相應(yīng)地發(fā)生變化，但是在發(fā)展變化的過程中有其相對的穩(wěn)定性．在數(shù)學科學體系的確定的階段，每一個數(shù)學概念的外延和內(nèi)涵都是確定的，二者是相互確定的。初中數(shù)學概念的特點
1、初中數(shù)學概念并非都是通過定義給出的
2.初中數(shù)學概念的層次性數(shù)學概念本身具有層次性。
3.數(shù)學概念是理想概念
4.數(shù)學概念是“過程”與“對象”的統(tǒng)一體數(shù)學概念之間的關(guān)系
1.同一關(guān)系兩個外延完全相同的概念之間的關(guān)系，叫做同一關(guān)系。同一關(guān)系，敘述上常用連接詞“即”、“就是”等表示。在一個判斷過程中，具有同一關(guān)系的兩個概念可以互相代替。
2.交叉關(guān)系兩個外延部分相同的概念之間的關(guān)系，叫做交叉關(guān)系.敘述上常用“有的”、“有些”等表示。
3.從屬關(guān)系兩個外延具有包含關(guān)系的概念之間的關(guān)系，叫做從屬關(guān)系。其中外延范圍大的概念A(yù)叫做上位概念或種概念，外延范圍小的概念B叫做下位概念或類概念。4.矛盾關(guān)系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和等于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做矛盾關(guān)系。
5.對立關(guān)系兩個概念的外延互相排斥，但外延之和小于它們最鄰近的種概念的外延，這樣兩個概念之間的關(guān)系，叫做對立關(guān)系。
把一個屬概念分成若干個種概念，揭示概念外延的邏輯方法叫做概念的劃分。在數(shù)學中常用劃分把概念系統(tǒng)化。正確的劃分應(yīng)符合下列條件：
第一，所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系，即任兩個種概念的外延的交集應(yīng)是空集；第二，劃分應(yīng)是相稱的，即是說所分成的全異種概念的外延的并集等于屬概念的外延；第三，每次劃分都應(yīng)按照同一個標準進行。在一次劃分中用不同的根據(jù)就造成了混亂；第四，劃分不應(yīng)越級。應(yīng)把屬概念分為最鄰近的種概念
數(shù)學概念的定義與要求
定義是建立概念的邏輯方法人們在認識事物的過程中，經(jīng)過抽象，形成概念，就要借助語言或符號，加以明確、固定和傳遞，這就要給概念下定義。定義的功能是為了明確討論問題的對象。常常是在抽象出事物的本質(zhì)屬性之后，運用邏輯的方法和精練的語言或符號揭示出對象的本質(zhì)屬性。常用的定義方法:
1.“種+類差”定義法屬概念加種差定義法就是，用被定義概念最鄰近的屬概念，連同被定義的概念與同一屬概念下其它種概念之間的差別（即種差），來進行定義的方法。2.發(fā)生式定義法不直接揭示概念的基本內(nèi)涵或外延，而是通過指出概念所反映的對象產(chǎn)生的過程，由此來定義概念的方法，叫做發(fā)生式定義法。
3.外延定義法這是一種給出概念外延的定義法，又叫歸納定義法。真時，P假；當P假時，P真。
2.選言判斷。選言判斷是由兩個或兩個以上判斷用連接詞“或者”構(gòu)成的判斷，一般記成AVB，讀作“A或B”。
3.聯(lián)言判斷。聯(lián)言判斷是用連接詞“且”構(gòu)成的判斷，表明幾個事物情況都存在，一般記成A∧B，讀作“A且B”。4假言判斷。假言判斷又叫蘊含判斷，它是判斷P為另一判斷Q存在條件的判斷，P、Q分別叫做該假言判斷的前件和后件(或題設(shè)和題斷，條件和結(jié)論)，一般用“若……，則……”，或“如果……，那么……”的形式表示，記成P→Q。解命題的涵義
關(guān)于數(shù)學對象及其屬性的判斷叫做數(shù)學判斷。判斷要借助于語句，表示判斷的語句叫命題。
4.約定式定義法由于某種特殊的需要，通過約定的方法來定義的。
5．關(guān)系定義法這是以事物間的關(guān)系作為種差的定義，它指出這種關(guān)系是被定義事物所具有而任何其他事物所不具有的特有屬性。
此外，中學數(shù)學中還有描述性定義法(如現(xiàn)行中學數(shù)學中關(guān)于等式、極限的定義)、遞推式定義法(如n階行列式、n階導數(shù)、n重積分的定義)，借助另一對象來進行定義(如借助指數(shù)概念定義對數(shù)概念)等等。定義數(shù)學概念的基本要求
1.定義應(yīng)當相稱。即定義概念的外延與被定義概念的外延必須是相同的，既不能擴大也不能縮小2.定義不能循環(huán)。即在同一個科學系統(tǒng)中，不能以A概念來定義B概念，而同時又以B概念來定義A概念。
3.定義應(yīng)清楚、簡明。定義中列舉的屬性對于揭示概念反映的對象的本質(zhì)屬性來說應(yīng)是必不可少的。所謂必不可少是指每一個屬性都是獨立的，不能由列舉出的其它屬性推出。
定義要揭示概念所反映對象的本質(zhì)屬性，而否定形式一般不能做到這一點。數(shù)學概念的形成
數(shù)學概念形成是從大量的實際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進行檢驗與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。
數(shù)學概念形成的過程有以下幾個階段：
1.觀察實例。
2.分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各實例的共同屬性。
3.抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。
4.確認本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗假設(shè)。確認本質(zhì)屬性。
5.概括定義。在驗證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實例中抽象出本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。
6.符號表示。
7.具體運用。使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實質(zhì)性聯(lián)系。把所學的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。
判斷是人們對事物情況有所肯定或否定的比概念高一級的思維形式。判斷是屬于主觀對客觀的認識，因此，判斷有真有假，其真假要由實踐來檢驗，在數(shù)學中要進行證明。如實反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷。在一個判斷中，如果不包含其他的判斷，叫做簡單判斷。簡單判斷又分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。復合判斷是由兩個或兩個以上的簡單判斷用連接詞構(gòu)成的判斷。
1.負判斷。負判斷是用連接詞“非”構(gòu)成的判斷，一般記為┑P，讀作“非P”，當P如何理解命題的分類
所謂性質(zhì)命題，是指斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的命題。性質(zhì)命題由主項、謂項、量項和聯(lián)項四部分組成。關(guān)系命題關(guān)系命題是斷定事物與事物之間關(guān)系的命題，關(guān)系命題由主項、謂項和量項三部分組成.復合命題命題真值的概念。
對于命題A、B，如果A是一個真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個假命題，我們就說B的真值等于0，記成B=0。一個命題或真或假，而不能既真又假。因此，一個命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非l又非0。
復合命題的分類
復合命題由于所采用的連接詞不同，可分為下列五種形式。
否定式。給定一個命題A，用連接詞“非”組成一個復合命題“非A”，
析取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“或”組成一個復合命題“A或B”，合取式。給定兩個命題A與B，用連接詞“且”組成一個復合命題“A且B”蘊含式。給定兩個命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個復合命題“若A則B”，記作AB
等值式。給定兩個命題A與B，用連接詞“等值”組成一個復合命題“A等值B”，記作“AB”公理與定理
不加證明而被承認其真實性的命題叫做“公理”。原始概念和公理是組成數(shù)學理論的主要基礎(chǔ)。公理雖然不能加以證明，但有其合理性，它是從大量客觀事物與現(xiàn)象中抽象出來的，符合客觀規(guī)律。
任何公理體系都必須滿足相容性、完備性和獨立性。相容性是指該體系的各公理之間沒有矛盾。完備性是指該分支的形成除了相應(yīng)的公理體系外，不依賴于任何別的東西。獨立性是指該體系中各公理是相互獨立的，沒有一個可以由其他公理推出。獨立性對整個公理體系而言，具有錦上添花的作用。
經(jīng)過證明為真實的命題叫做定理，可由定理直接得出的真命題叫做推論。推論和定理的含義沒有什么本質(zhì)的區(qū)別。一個定理的逆命題、偏逆命題都未必為真，如果證明了是真實的，則分別稱為原定理的“逆定理”、“偏逆定理”。形式邏輯的基本規(guī)律
1.同一律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，所使用的概念和判斷必須確
定，且前后保持一致。公式是：A→A，即A是A。它有兩點具體要求：一是思維的對象應(yīng)保持同一。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。
2.矛盾律：在同一時間，同一地點，同一思維的過程中，不能既肯定它是什么，又否定它是什么，即在同一思維過程中的兩個互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假。公式是：A∧A，即A不是A。
3.排中律：在同一時間、同一地點、同一思維的過程中，對同一對象，必須作出明確的肯定或否定的判斷。即在同一思維過程中，兩個互相矛盾的概念或判斷不能同假，必有一真，而排除第三種可能。公式是：A∨，即A或。
排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。其聯(lián)系在于：它們都是關(guān)于兩個互相矛盾的判斷，都指出兩個矛盾判斷不能同時并存，其中必有一個是假。但如何進一步確定誰真誰假，它們本身都無能為力，只有借助其他知識，進行具體分析，才能正確地予以回答。3．演繹推理是一種由
小學數(shù)學培訓總結(jié)3
網(wǎng)絡(luò)研修小學數(shù)學培訓總結(jié)
今年，我繼續(xù)參加了20xx年中小學教師繼續(xù)教育培訓。經(jīng)過這一段的學習，給我的感受是很深刻的：一個現(xiàn)代教師如果僅僅是將書本上的有限知識教給學生是遠遠不夠的，教師必須對學生做到教會做人、教會求知、教會辦事、教會健體、教會審美、教會創(chuàng)造，要把德、智、體、美全面發(fā)展，使知、情、意、行和諧統(tǒng)一，而要達此種教育目的，首先就必須從改變教育者開始，不斷提高自身的教育素質(zhì)，完善自我，我自完善，才能成為一名合格的現(xiàn)代教師。通過上網(wǎng)學習讓我學到了很多課堂教學的藝術(shù)與技巧，同時也解決了我以前在課堂教學當中存在的很多困惑，對我的教學實踐起到了很好的指導作用。
本次學習我選了《信息技術(shù)應(yīng)用與小學數(shù)學自主教育策略的探究》《小學數(shù)學自主教學課堂培優(yōu)輔困研究》等課程，通過這些日子的學習，我堅信在以后的工作學習中一定能取得更大的進步。下面是我通過培訓獲得的點滴體會：
一、網(wǎng)絡(luò)研修使我轉(zhuǎn)變了思想，更新了觀念。
通過研修，使我明確了現(xiàn)代教育的本質(zhì)，明確了課改對于教師提出什么樣的素質(zhì)要求;每一位老師都需要重新學習才能適應(yīng)新課程。新的教育理念要求我們必須不斷提高自己，充實自己，要有扎實的教學基本功，否則就被時代所淘汰。在教學中，要樹立以“學生發(fā)展為本”的教育思想，不斷進行觀念的更新。
二、網(wǎng)絡(luò)研修，為我營造了一個廣闊的學習天地，使我掌握了先進的教育理念和方法。
教無定法，貴在得法。如果只是停留在模仿復制階段，不僅不利于持續(xù)激發(fā)學生的學習熱情，而且對教師本身的才智和創(chuàng)造力也是一種損傷。任何活動與游戲設(shè)計都有很多可以拓展的`空間，教師們只要精心設(shè)計，就一定能做到觸類旁通，機變百出，讓數(shù)學課堂煥發(fā)生命活力。
三、網(wǎng)絡(luò)研修，讓我有了善于反思的習慣。
“反思是教師的一塊“自留地”，只有不斷耕耘，才能檢討自己的教育理念與行為，不斷追問“我的教學有效嗎?”“我的教學能更有效嗎?”，不斷總結(jié)自己的工作得失，不斷深化自己的認識，不斷修正自己的策略，從而獲得持續(xù)的專業(yè)成長，總結(jié)——深化——修正——獲得，這是教師專業(yè)成長的法寶。只有靠教師自己在日常教學實踐中
不斷反思、探索和創(chuàng)造才能獲得，尤其要注重對教學經(jīng)驗的科學反思。反思的目的在于增加教師的理性自主，使教師對其實踐信念和實踐的因果決定因素有更多的自我意識，從而使教師的成長始終保持一種動態(tài)、開放、持續(xù)發(fā)展的狀態(tài)。
四、立足課堂，在實踐中提升了自身價值。
課堂是教師體現(xiàn)自身價值的主陣地，我會將自己的愛全身的融入到學生中。在教學中，我會將努力所學的新課程理念應(yīng)用到課堂教學實踐中，避免“穿新鞋走老路’。立足“用活新老教材實踐新觀念”，力求讓我的教學更具特色，形成獨具風格的教學模式，更好地體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求，使自己的課堂教學有效乃至高效。
五、改變工作方式，謀求共同發(fā)展。
新課程理念提倡培養(yǎng)學生的綜合性學習，而自主合作探究又是學生學習的重要方式。對于絕大多數(shù)教師而言，幾乎很難獨立一個人較好的完成，這就要求我們教師要善于了解其它學科，學會與其他教師合作，互助配合，齊心協(xié)力培養(yǎng)學生。從而使各學科、各年級的教學有機融合，互助促進。
六、通過學習，學會了交流。
21世紀倡導的主旋律是“和諧進取”，新課程倡導的主旋律是“師生互動，師師互動”。而平時，我們在工作和學習中，多數(shù)情況下還是自己研究，自己思考。通過這次研修，我徹底打開了固步自封的思想，無所顧慮的和學友們、同事們共同交流，共同研討，開拓了教研視野。通過這次培訓提高，真是感受頗深，更顯終生學習的重要性。
總之，通過繼續(xù)教育的培訓學習，使我體悟到培訓是自身的再教學、再提高過程;與平常教學的不同之處是增加了更多的理性分析要素，這段學習雖然有些勞累，但是讓我獲得了更多快樂，更多的知識。今后，自己充分將所學、所悟、所感的內(nèi)容應(yīng)用到教學實踐中去，做新時期的合格的小學數(shù)學教師。
小學數(shù)學培訓總結(jié)4
通過參加教師的繼續(xù)教育培訓，使我的教育教學觀念進一步得到更新，真是受益匪淺。我仔細聆聽了專家的講座，進入論壇發(fā)貼、跟貼，寫學習日志，精心編寫教學設(shè)計與反思，用心地完成作業(yè)，使我學到了當前先進的教育教學理論，為以后的工作積蓄了力量、理清了思路，更加明確了目標。
一. 思想靈魂得到了洗禮
多年的教學歷程，使我已經(jīng)慢慢感到倦怠，我已不知從什么時候開始，就老是愛抱怨現(xiàn)在的學生難教難管，卻把教師的職業(yè)當成了一種謀生的職業(yè)。所以對待教育教學工作常帶有厭倦感，心態(tài)老是失衡�？赏ㄟ^這次培訓，聽了專家們的觀點，使我的心靈受到了震憾，靈魂得到了凈化，思想認識得到了提高。讓我能以更寬闊的視野去看待我們的教育教學工作。讓我學到了更多提高自身素質(zhì)跟教育教學水平的方法跟捷徑�！皭邸笔墙逃闹c，我們知道了怎樣更好地去愛自己的學生，怎樣讓我們的學生在更好的環(huán)境下健康茁壯地成長。
二、加強學習，促進專業(yè)化成長
教師要想給學生一滴水，自己就必須具備一桶水。但要想學生永遠取之不盡，用之不盡，教師就得時時給予補足，專家的話就充分印證了這句話。他們用淵博的科學文化知識旁征博引給我們闡述深奧的理論知識，講得通俗易懂，讓我們深受啟發(fā)。面對著一群群渴求知識的學生，使我深感到自己責任的重大以及教師職業(yè)的神圣。讓我對如何進行有效備課跟上課指明了方向。特別是教師們對教學中的`困惑跟爭論，更讓我體會到了進行終身學習，促進教師專業(yè)化成長的必要性。冰凍三尺非一日之寒，我們教師只有不斷地學習，不斷地完善，不斷地提升，才能滿足社會的需求，才能適應(yīng)世紀的挑戰(zhàn)，才能勝任教師這一行業(yè)。
三. 有效課堂的建構(gòu)
通過認真地學習，使我對如何有效備課跟上課有了全新的認識。面對著新課程、新理念，我們教師就得更新教育教學觀念，采取新對策實施有效教學，跟上時代發(fā)展的步伐。
有效課堂教師要堅持做到先學后導，把先學后導貫穿于課前、課中、課后，并要以建構(gòu)主義教學為基礎(chǔ)，遵循學生認知規(guī)律，從學生已有的知識基礎(chǔ)經(jīng)驗出發(fā)，幫助學生找準新舊知識間的切入點，讓學生的思維產(chǎn)生碰撞跟沖突。抓住新舊知識之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這需要教師創(chuàng)設(shè)真實的情景來互動。教師設(shè)問題，學生生成問題，教師引發(fā)討論，使整個課堂的學習活動充滿生機活力。
有效教學要把評價滲入課堂。教師要使知識問題化、問題能力化，要實現(xiàn)這一目標教師就必須與學生共同建立起知識的橋梁，形成合作、探究解決，并以問題為核心，以學生為本，該如何創(chuàng)設(shè)跟諧的課堂或情境?指導學生的學習是要科學化，訓練的問題是要目標化，內(nèi)容的評價要全面真實化。一系列的問題教師都必須進行全面的思考與評價。
四.積極參加調(diào)教活動跟聽優(yōu)秀老師的觀摩課
培訓時，專家們的講述，環(huán)節(jié)嚴謹，重點突出，過渡自然，使我深受啟發(fā)，爭取在教學時精心設(shè)計習題，用行動激發(fā)學生的學習熱情，讓學生懂得數(shù)學生活中的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)了新課改的理念“人人學有用的數(shù)學”。貼近學生的學習生活，學生更樂意接受。
培訓已拉下帷幕，而我覺得只是一個開端，不過這次培訓也使我補足了元氣，添了靈氣，煥發(fā)出無限生機。真正感到教育是充滿智慧的事業(yè)，深刻意識到教師職業(yè)的責任與神圣。寫在紙上的是思想的足跡，化作動力的是思想的延伸，愿“一片金色的回憶，一份永久的紀念”化為我重新跋涉的新起點。
小學數(shù)學培訓總結(jié)5
345優(yōu)質(zhì)高效課堂，“345”的含義是指三個步驟、四個環(huán)節(jié)、五種基本課型，三個步驟是課前延伸—課內(nèi)探究—課后提升，四個環(huán)節(jié)是自主學習、合作探究、精講點撥、鞏固檢測，五種課型，各學科有所不同。這次上壽光暑期培訓，聽取了來自不同縣市區(qū)的名師所執(zhí)教的五節(jié)精彩的小學數(shù)學課，就是數(shù)學科目的五種典型課型。
小學數(shù)學內(nèi)容大致有這些：數(shù)的認識、數(shù)的運算、量與計算、比和比例、式與方程、幾何圖形、統(tǒng)計與可能性等，根據(jù)內(nèi)容的不同可以選用不同的課型。
第一節(jié)課是來自壽光世紀學校王琳琳老師執(zhí)教的二年級數(shù)學內(nèi)容《乘法的認識》，數(shù)學內(nèi)容中的所有概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等都屬于數(shù)學概念，這節(jié)課屬于概念教學。先看《乘法的認識》這節(jié)課的教學過程（根據(jù)課件簡述教學設(shè)計），突出優(yōu)點首先是創(chuàng)設(shè)情景、提出問題，讓學生列式解答，觀察算式特點，那復雜算式呢，思考解決辦法，其次是概括總結(jié)出乘法的概念后，及時進行應(yīng)用辨析，這也是我們老師在講概念課時值得借鑒的地方。概念教學的流程按教學側(cè)重點不同大致分為四個階段：第一個階段（變魔術(shù)、提問題）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，促思定向——第二階段（列算式、找特點）自主探索，合作交流，感知概念——第三階段（求簡單、學乘法）精講點撥，內(nèi)化提升，形成概念——第四階段（巧練習、促鞏固）練習鞏固，反思評價，矯正補缺。
第二節(jié)課是來自高密市第二實驗小學侯淑嫻老師執(zhí)教的一節(jié)三年級數(shù)學課《統(tǒng)計與可能性》，這節(jié)課《統(tǒng)計與可能性》是青島版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學（三年級上冊）》第82-83頁所學的內(nèi)容。先看《統(tǒng)計與可能性》這節(jié)課的教學過程（根據(jù)課件簡述教學設(shè)計），突出優(yōu)點是以小組的形式自主學習、合作探究，而且老師及時評價，練習題多容量大。此課型的教學過程有四個環(huán)節(jié)：一游戲引入，激發(fā)興趣；二精心設(shè)問，引出新知；三操作驗證，探究新知；四梯度練習，鞏固新知。統(tǒng)計與可能性這部分內(nèi)容在授課時關(guān)鍵是練習題的設(shè)計上要靈活多變而且切合實際生活。例如：要設(shè)計一個轉(zhuǎn)盤，紅綠兩種顏色，指針指向紅色獎書包，指針轉(zhuǎn)到綠色獎鉛筆。如果你是一個商店老板會怎樣設(shè)計這個轉(zhuǎn)盤，如果你是一個聰明的顧客又會怎樣設(shè)計這個轉(zhuǎn)盤呢？
第三節(jié)課是來自奎文區(qū)濰坊日向友好學校王冬梅老師執(zhí)教的一節(jié)六年級數(shù)學課，我們期末考試大多用的是奎文區(qū)的試卷，題目非常新穎靈活，聽了這節(jié)課我深深感覺到我們與他們的教科研上有很大差距。先看《平面圖形的復習》這節(jié)課的教學過程（根據(jù)課件簡述教學設(shè)計），突出優(yōu)點是：
一是王老師通過讓學生解決——“中隊旗用多少布料�！边@一問題，與開課所提及的問題前后呼應(yīng)，又有利于拓展學生多角度思考和聯(lián)系實際解決問題的`能力，同時注重了解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)了學生的數(shù)學應(yīng)用意識。
二是最后通過——“想象大沖浪”這一輕松而富有智慧的練習既鞏固了面積計算公式同時又培養(yǎng)了學生合理想象的能力，可謂一舉兩得。三是王老師在課的最后以“精神快餐”和“學習訣竅”的形式對課進行總結(jié)，富有哲理，耐人尋味，發(fā)人深思，給人啟迪，從而潛移默化地使學生的思維得到升華，為學生后續(xù)學習起到了很好的啟發(fā)和引領(lǐng)作用。
通過這節(jié)課我們一塊研討一下復習課。復習課的主要任務(wù)是：幫助學生梳理知識，形成網(wǎng)絡(luò)，使知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，以加深對知識的理解及知識之間內(nèi)在聯(lián)系的把握，并在梳理的同時查漏補缺，彌補平時學習的薄弱環(huán)節(jié)。通過綜合應(yīng)用，幫助學生進一步鞏固和熟練掌握基本知識，基本技能以及基本的數(shù)學思想和方法，幫助學生揭示解題規(guī)律，總結(jié)解題方法，進一步提高學生綜合運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力。并在對數(shù)學知識的綜合應(yīng)用中，進一步提高觀察能力，記憶能力，抽象概括能力，邏輯推理能力，化歸轉(zhuǎn)化能力，空間想象能力、數(shù)學化的能力、運算能力和探索創(chuàng)新能力。本節(jié)復習課教學的基本流程是：創(chuàng)設(shè)情境，激趣導入、激發(fā)學習動機——自主探究，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，呈現(xiàn)原有認知——合作交流，方法指引，構(gòu)建升華認知——綜合運用，解決實際問題，思維拓展。
第四節(jié)課是來自諸城市新藝學校郭德燕老師執(zhí)教的一節(jié)四年級數(shù)學課《解決問題》，其教學內(nèi)容是青島版四年級上冊第三單元。教學目標是：
1、完成三步解決問題的學習任務(wù)；
2、使學生進一步學會分析問題解決問題的方法；
3、在解決問題的同時完成四則混和運算的學習任務(wù)。
先看《解決問題》這節(jié)課的教學過程（根據(jù)課件簡述教學設(shè)計），突出優(yōu)點是：一是這節(jié)課以“愛我中華”“愛我山東” “愛我家鄉(xiāng)”為主線，情感教育濃厚，二是注重培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的思路和方法，我們上課經(jīng)常提問學生這道題怎樣做呢，而郭德艷老師是多遍讓學生分析這道題，這樣才能讓學生從根本上學會解決應(yīng)用題。
小學數(shù)學培訓總結(jié)6
綠樹陰濃夏日長，樓臺倒影入池塘。水晶簾動微風起，滿塘荷盛一市香。在市教研室的組織下，我有幸參加了天長市首屆小學數(shù)學教師培訓。通過學習，使我在理論上對教育、教學有了更深層次的認識和體會。在多元化社會背景下，在一個以學習為主題的時代的發(fā)展中，市教研室及時的給小學教師提供了學習和交流的平臺，為期四天的培訓匆匆而過，聯(lián)系本人的實際談?wù)剬@次學習的認識。
1、談?wù)剬湔n的認識。
備課是上好課的關(guān)鍵，可以說任何一堂成功的課都是由精心備課而來。隨著新課程實踐向縱深發(fā)展，”教書“這一概念發(fā)生了深刻的變化。教師的“教”已不再是單純傳授，講析，而是引導、組織、參與、討論等的綜合。”書“也不再是單純的教科書，而是所有的書，包括電視、電影、網(wǎng)絡(luò)、報刊雜志，特別是生活這部大書。那么新課程背景下的備課也必然發(fā)生巨變，誰來備、備什么、怎樣備，這些都是教師們亟待解決的問題。王永斌老師的報告《數(shù)學教師如何備課》給我們指明了方向，使我們認識到上好一節(jié)課的前提是必須備好一節(jié)課。
2、談?wù)剬ι险n的認識。
在新的教學時代，在今天課改的大環(huán)境下，數(shù)學教師如何才能上好一節(jié)數(shù)學課？我認為最重要的是：教師應(yīng)進行角色轉(zhuǎn)換，應(yīng)從傳統(tǒng)的知識傳授者角色向?qū)W生的導師、學生自主學習的促進者、課程的開發(fā)者、合作者、信息資源的設(shè)計和查詢者、學生的學術(shù)顧問、研究者和學習者等角色轉(zhuǎn)變。我們要向40分鐘要質(zhì)量，追求教學的有效性（即：有效果、有效率、有效益）。盧杰夫老師在他的報告中為我們詳細的介紹了如何上好一節(jié)課，在當前的課堂教學中教師存在的困惑。以“解決問題”這一教學內(nèi)容為例，給我們展示了上好一節(jié)課的全部過程。當然到底如何上好課，還有更多的方面值得我們每位教師去關(guān)注，去思考、去探索，畢竟教育是與我們每個人的生存和發(fā)展息息相關(guān)的。
3、談?wù)勅绾翁幚碚n堂教學預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系。
課堂教學是預(yù)設(shè)與生成的矛盾統(tǒng)一體，充分的預(yù)設(shè)是課堂教學成功的保障。只有課前精心預(yù)設(shè)，才能在課堂上動態(tài)生成。我們還應(yīng)該“提倡生成”、“期待生成”，同時也“關(guān)注生成”、“駕馭生成”，讓學生的問題跟著我們的課堂一起飛翔。曹文香老師的講稿中以自己的公開課為例為我們講述了課堂預(yù)設(shè)的基本要點和思路，從而使我認識到預(yù)設(shè)性是課堂的必然屬性。為了有效地開展課堂教學活動，完成計劃中的教與學的任務(wù)，在上一堂課之前，我們要深入研究教材，全面了解學生，精心設(shè)計活動，完成教學預(yù)設(shè)。但在真實的課堂教學中，要因地制宜、因情制宜，隨時調(diào)整課前的預(yù)設(shè)，即時創(chuàng)造、即興修改，創(chuàng)設(shè)有利于學生有效學習的'課堂情境。
4、談?wù)勅绾握f課。
培訓的最后一天，汪主任還是給我們講解什么是說課、如何說課等等。具體的內(nèi)容我無須重復，我就說課談?wù)勛约旱恼J識：
1、說課有利于提高教學教研活動的實效。
2、說課有利于提高教師備課的質(zhì)量。
3、說課有利于提高課堂教學的效率。
4、說課有利于提高教師的自身素質(zhì)。
同時，在汪主任給我們介紹說課的程序時，我個人覺得說課也應(yīng)該有一些原則：
1、說理精辟，突出理論性。
2、客觀再現(xiàn)，具有可操作性。
3、不拘形式，富有靈活性。
另外，我個人認為說課要注重科學性、創(chuàng)新性、實效性。做到教材分析正確、透徹。學情分析客觀、準確，符合實際。教學目的符合大綱要求、教材內(nèi)容和學生實際。教法設(shè)計緊扣教學目的、符合課型特點和學科特點、有利于發(fā)展學生智能，可操作性強。同時，還要樹立創(chuàng)新的意識和勇氣，說出新的思路和方法，使聽者有所啟示和收益。
這次培訓是一次對自己“教育潛意識結(jié)構(gòu)"的深層改造，自己在學習中通過反思，結(jié)合教育實踐，明確了教育的方向、目的，找到了實現(xiàn)目的的方法技巧，這是一次成功的學習，勝利的學習，希望市教研室能夠給我們一線教師多提供一些這樣的學習機會。
小學數(shù)學培訓總結(jié)7
在這段期間，我順應(yīng)學校的要求去參加了一次培訓補習。在此之前，我甚至對自己作為一名教師還去補習感到一些委屈，盡管我明白作為教師也需要不斷的進步，不斷的補足自己，但是讓自己從講臺上走下來，坐到臺下，這實在是讓我感到有些不自在。
但現(xiàn)在，我完全不會這樣去想了!我必須承認，這次培訓的收獲比我想象的要多的多!同時，這次的培訓教導給我的也不僅僅是上課的知識，還有尊重和謙虛。以下是我這次培訓的心得體會：
一、課堂的體會
在這次的培訓課堂中，教導我們的是xx校園的骨干教師xx，我作為一名學生，又是一名老師，坐在臺下的位置上，我感受到了許多過去沒能考慮到的問題。不僅僅是_老師出色的講課給我?guī)淼捏w會，重新成為學生，我思考到了作為一名學生的心態(tài)。而作為教師，在過去的時候我不該只想著怎么去將知識灌輸給學生，更不應(yīng)該過度的要求他們，好像是我將他們前進的道路變的狹窄一樣!
上著xx老師教導的課程，我有這完全不同的感受，一開始的時候我并沒有這么深刻的注意到，但是在后來，我卻認識到，在這些課程中，一直都是我們自主在思考!老師不僅僅是在給我們指點，更是在通過自己的`教導方式讓我們明白，一個開放的課堂才是真正的課堂。
尤其是在幾次的討論中，我們這些臺下的“學生”們一起討論教學的問題，一起分析老師給我們的論點。這不正是我所期望的課堂嗎?但是過去的我沒能做好，自己沒能把控好干涉的程度，大大的限制了同學們的發(fā)揮!
二、收獲反思
這次的學習，我得到的不僅僅是對自己的反思，通過我們的交流，通過老師的指點，我看到了教學豐富的多樣性!盡管是嚴謹?shù)臄?shù)學課，一樣也能通過有趣、自由的方式讓同學們領(lǐng)會知識，并且，還能通過讓同學們自身的領(lǐng)會，讓他們加深對數(shù)學的興趣，提高學習的動力!
反觀過去的教學，我太過嚴謹，不知不覺讓自己變得死板。如今接受了新的“活水”，讓我的思想也更加的“活”了起來!在今后的教學中，我有信心讓自己的工作能更加的出色!未來，我一定能和班上的同學一起努力，將課堂變得更加有趣!
小學數(shù)學培訓總結(jié)8
在這個月的研修活動過程當中，我所遇到的每一個老師、看到的每一篇老師作業(yè)和老師認真的留言中都流露出積極求知、樂觀向上的心態(tài)。我認為，保持這種心態(tài)對每個人的工作、生活都是至關(guān)重要的，這將深深地影響著我、激勵著我對今后工作的態(tài)度。只有積極學習教育理論，學習先進經(jīng)驗和新的教育理念來不斷的充實自己，才能更好的進行教育教學實踐。
作為傳道授業(yè)的老師，只有不斷的更新自己的知識，不斷提高自身素質(zhì)，不斷的完善自己，才能教好學生。如果自身散漫，怎能要求學生認真。要提高我們的自身素質(zhì)，這要求我們教師多聽取各種意見。并且自身不斷的學習，積極學習，不斷開辟新教法。摒棄舊的教學方法，把先進的教學模式引入課堂。
通過這段時的培訓學習，“合作學習”、“主動探究”、“師生互動”、“生生互動”等新型的教學模式為課堂注入了生機與活力。通過培訓我認識到：這些新的教學模式給學生更加自由的學習空間，體現(xiàn)了以學生為本的理念，老師要自覺地把新的教學模式引入課堂，改變課堂的面貌，使課堂氣氛活躍;教學民主，關(guān)注學生的個體差異;學生的學習熱情高漲;師生關(guān)系融洽，促進學生的全面發(fā)展，才能充分體現(xiàn)素質(zhì)教育的根本目標。通過這次培訓，讓我懂得了網(wǎng)絡(luò)的重要性;讓我懂得了如何運用網(wǎng)絡(luò)資源。在以后的教學設(shè)計過程中，我將依據(jù)教育教學原理、應(yīng)用系統(tǒng)、科學的方法，研究、探索教和學系統(tǒng)中各要素之間及要素與整體之間的本質(zhì)聯(lián)系，然后對教學內(nèi)容、教學媒體、教學策略和教學評價等要素進行具體計劃�？梢越�(jīng)常利用網(wǎng)絡(luò)資源搜集一些新成果介紹給學生，以激發(fā)學生的'學習興趣，也開拓自己的教學視野和思維。
通過這次的培訓，使我深刻意識到：自己的知識、能力與他們相比較有一定差距，人只有不斷地學習，不斷地充實，不斷地覺醒，才能立足于這個高速發(fā)展的社會。以后我將憑著自己對教學的熱情，不斷實踐、鉆研、在進步、在創(chuàng)造。在今后的教學中，充分發(fā)揮骨干教師的作用，進一步學習新的教育理論和教學方法，使自己在教學中創(chuàng)造更好的佳績，為我校的教學再上一個臺階做出自己的貢獻。同時，我也相信共同的學習一定會造就共同的進步，祖國的教育事業(yè)一定會更加輝煌燦爛。
小學數(shù)學培訓總結(jié)9
義務(wù)教育階段的數(shù)學課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性，普及性和發(fā)展性，使數(shù)學教育面向全體學生。既要加強學生的基礎(chǔ)性學習，又要提高學生的發(fā)展性學習和創(chuàng)造性學習。讓學生享受“快樂數(shù)學”。因此，本人通過對新課程的學習，對如何讓學生學好數(shù)學有了進一步的認識。下面談一下自己的感受：
首先育人要有新理念， 新課程標準把全面發(fā)展放在首位，強調(diào)小學生學習要從以獲取知識為首要目標轉(zhuǎn)到首先關(guān)注人的情感、態(tài)度、價值觀和一般能力的培養(yǎng)，創(chuàng)造一個有利于學生生動活潑，持續(xù)發(fā)展的教育環(huán)境。在教學中既要關(guān)注學生數(shù)學學習的水平，更要關(guān)注他們在數(shù)學實踐活動中所表現(xiàn)出來的情感和態(tài)度。
其次，教學要有新方法
1、給學生提供動手實踐的機會，變“聽數(shù)學”為“做數(shù)學”。學生對數(shù)學的體驗主要是通過動手操作，動手操作能促進學生在“做數(shù)學”的過程中對所學知識產(chǎn)生深刻的體驗，從中感悟并理解新知識的形成和發(fā)展，體會數(shù)學學習的過程與方法，獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗。它是學生參與數(shù)學活動的重要方式。
新教材非常注重學生操作活動的設(shè)計并提供了大量的素材，教師要從“生動的直觀到抽象的思維”的認識規(guī)律來設(shè)計、組織操作活動，并擔當好組織者和引導者的角色。不能把操作流于形式，要讓每個學生都必須經(jīng)歷每一個操作活動。還要引導學生把直觀形象與抽象概括相結(jié)合，采取邊說邊操作，邊討論邊操作等方式，讓手、腦、口并用，在操作和直觀教學的基礎(chǔ)上及時對概念、規(guī)律等的本質(zhì)屬性進行抽象概括。
2、自主探索與合作交流從形式走向?qū)嵸|(zhì)。教師要有目的地選擇這些重演或再現(xiàn)的教學內(nèi)容，給學生提供自主探索的空間和時間，讓學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證等數(shù)學活動。自主探索是在教師引導下的探索，教師不僅要精心設(shè)計自主探索的情境，而且要關(guān)注學生探索的過程和方法。學之道在于“悟”，教之道在于“度”，教師要處理好自主與引導、放與收、過程與結(jié)果之間的辨證關(guān)系。對于那些估計學生通過努力能探索求得解決的問題，應(yīng)大膽地放，放得真心、實在，收要收得及時、自然。如果只放不收，只是表面上的熱鬧，收效甚微。如果失去教師有價值的引導，學生的主體性也不會得到充分的發(fā)揮。
3、注意運用現(xiàn)代信息技術(shù)輔助教學。因為運用信息技術(shù)，有利于提高課堂教學效果。 第三、學習模式的多元化。
教育家陶行知說過：“真教育是心心相印的活動”。在新課程中，傳統(tǒng)意義上被認為是知識傳授者的教師的教與學生的學，將不斷讓位于師生互教互學，彼此將形成一個真正的“學習共同體”，建立起教師和學生之間的平等的朋友式的關(guān)系，營造和諧的教與學的氛圍，創(chuàng)設(shè)師生“對話”的情境，使學生體驗平等、自由、民主、尊重、信任、同情、理解和寬容，形成自主自覺的意識、探索求知的欲望、開拓創(chuàng)新的激情和積極進取的'人生態(tài)度。這就需要教師與學生、學生與學生之間形成平等而又密切合作的關(guān)系，以達到共同合作完成知識建構(gòu)的目的。創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)揮最佳效果。
在教學實踐中，可以從日常生活入手，創(chuàng)設(shè)生動有趣的問題情境，吸引學生的注意力，激發(fā)學生的學習興趣，這樣使學生從生活經(jīng)驗和客觀事實出發(fā)，在研究現(xiàn)實問題的過程中學習數(shù)學、理解數(shù)學，同時把學習到的數(shù)學知識應(yīng)用到生活實際，使學生親近數(shù)學，感到學習數(shù)學的快樂，初步體現(xiàn)與現(xiàn)時生活的聯(lián)系。
第四、在教學中，充分關(guān)注學生情感態(tài)度變化，采取積極的評價，較多地運用激勵性的語言。
如：說得真好!你懂得真不少!你想象力非常豐富!真會動腦筋等等!調(diào)動了學生積極探求知識的欲望，激發(fā)了學生學習的情感，讓每個學生體驗成功，增強自信心。轉(zhuǎn)變學習方式，培養(yǎng)實踐操作能力。我們體會到要實現(xiàn)學生學習方式轉(zhuǎn)變要注意做到：既重視科學精神，又充滿人文精神教育。也就是基本功要扎實，基礎(chǔ)知識和基本技能熟練，還要關(guān)注每一個孩子，尊重學生人格，滿足不同學生的學習需要，讓每個學生都能得到充分的發(fā)展。教師要有創(chuàng)新的教學模式，創(chuàng)新的教學方法，靈活的教學內(nèi)容的選擇，以創(chuàng)新思維培養(yǎng)為核心的評價標準，要善于打破常規(guī)，突破傳統(tǒng)觀念，具有敏銳的洞察力和豐富的想象力。學生正處于人格塑造和定化時期新課程對教師提出了教育專業(yè)工作者的要求，我們只有作好充分的準備，進行精心的教學設(shè)計，才會在教學中使學生真正地動起來，經(jīng)歷"與人合作，并與同伴交流思維的過程和結(jié)果"，使學生善于傾聽他人發(fā)言，樂于陳述自己的想法，敢于修正他人的觀點，勇于接受他人的意見;這些都有利學生主動地參與學習，有利于提高個體的學習動力和能力，才會使他們感到無限快樂，感到自己精神的、智慧的力量在增長，使學生的個性得以充分的發(fā)展。
小學數(shù)學培訓總結(jié)10
在這一段時間的培訓中，我認真地看了各位專家對于小學數(shù)學新課標的解讀，尤其對他們講解的小學數(shù)學教學中各個方面的問題、今后改進的措施、辦法進行了深刻的理解和領(lǐng)悟，小學數(shù)學研修總結(jié)博客。確實收獲不小，感覺自己在日常工作中還存在很多不足。通過這次培訓，我有如下感想：
一、這次培訓讓我重新認識了自己。
這次學習使我的思想有了更深層次的轉(zhuǎn)變。作為一名小學數(shù)學教師，必須具有淵博的知識，良好的思維品質(zhì)，這些還遠遠不夠。我們要在數(shù)學學習探究過程中，不再把數(shù)學知識的傳授作為自己的主要教學任務(wù)和目的，也不再把主要精力花費在檢查學生對知識掌握的程度上，而是要成為學習集體中的成員，在問題面前教師和學生們一起尋找答案，在探究數(shù)學的道路上教師成為學生的伙伴和朋友。
二、面向全體學生，為學生全面發(fā)展和終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。
面向全體學生我們應(yīng)做到：
1、創(chuàng)設(shè)各種情景，鼓勵學生大膽地實踐，對他們在學習過程中的失誤和錯誤采取寬容的'態(tài)度;
2、為學生提供自主學習和直接交流的機會，以及充分表現(xiàn)和自我發(fā)展的一個空間;
3、鼓勵學生通過體驗、實踐、合作、探索等方式，發(fā)展聽、說、讀、寫的綜合能力;
4、創(chuàng)造條件讓學生能夠探究他們自己的一些問題，并自主解決問題，工作總結(jié)《小學數(shù)學研修總結(jié)博客》。
三、關(guān)注學生情感，創(chuàng)造民主、和諧的教學氣氛。
學生只有對自己、對學科及其文化有積極的情態(tài)，才能保持學習的動力并取得成績，刻板的情態(tài)，不僅會影響學習的效果，還會影響其它發(fā)展，因此我們要努力創(chuàng)造寬松民主、和諧的教學空間。關(guān)注學生我們應(yīng)做到：
1、尊重每個學生，積極鼓勵他們在學習中的嘗試，保護他們的自尊心和積極性;
2、把教學與情態(tài)有機地結(jié)合起來，創(chuàng)造各種合作學習的活動，促進學生互相學習，互相幫助，體驗成就感，發(fā)展合作精神;
3、關(guān)注學習有困難的或性格內(nèi)向的學習，盡可能地為他們創(chuàng)造語言的機會;
4、建立融洽、民主的師生交流渠道，經(jīng)常和學生一起反思學習過程和學習效果，互相鼓勵和幫助，做到教學相關(guān)。
四、在數(shù)學教學中體現(xiàn)情感態(tài)度。
新課程強調(diào)“數(shù)學教育要從以獲取知識為首要目標轉(zhuǎn)變?yōu)槭紫汝P(guān)注人的發(fā)展”、“轉(zhuǎn)變?yōu)槭紫汝P(guān)注每一個學生的情感、態(tài)度、價值觀和一般能力的發(fā)展”。在此，特別需要指出的是：數(shù)學教育中學生“情感、態(tài)度、價值觀”的發(fā)展應(yīng)是與其數(shù)學知識與技能方面的學習直接相聯(lián)系的，也即在兩者之間存在內(nèi)存的、必然的聯(lián)系，而不是某種外在的、牽強附會的、偶然的成分。因此，我們無疑應(yīng)當強調(diào)通過數(shù)學教學幫助學生樹立在數(shù)學學習上的自信心，但是這絕不是指數(shù)學學習應(yīng)當成為一種毫不費勁的“愉快學習”，我們應(yīng)當努力增強學生對于數(shù)學學習過程中艱苦困難的承受能力，從而也就能夠通過刻苦學習真切地體會到更高層次上的快樂。這也是中國數(shù)學教育優(yōu)良傳統(tǒng)的一個重要組成成分。
五、加強對學生學習策略的指導。
對學生學習策略進行指導，即讓他們在學習和使用的過程中逐步學會如何學習。那么，指導學生學習策略我們應(yīng)做到：
1、積極創(chuàng)造條件，讓學生參與到階段性學習目標，以及實現(xiàn)目標的方法;
2、引導學生采用推測、查閱和協(xié)調(diào)的方法進行學習;
3、引導學生在學習過程中，進行自我評價，并根據(jù)需要調(diào)整自己的學習目標和學習策略。
新課程改革不是說說而已，必須要與實踐相結(jié)合，即將努力學習，積極進取，積極參與課程改革，在課堂實踐教學中不斷摸索，不斷學習，不斷實踐，不斷反思。我樂于參與遠程研修，我也樂于與廣大同仁們共同成長，我也更樂于實踐課堂教學。
時代要求我們必須進步，相信在以后的工作中，我會更努力地在先進理論的指引下大力改進我的工作。
小學數(shù)學培訓總結(jié)11
20xx年7月15日，縣教育局組織縣內(nèi)的500余名小學數(shù)學教師會聚在實驗中學，展開了對小學數(shù)學暑期培訓。培訓會上博興縣第一小學的宋春景老師對一年級下冊的“實踐與綜合應(yīng)用”部分作了詳細的解讀、說明。為我們以后的教學起了一個很好的鋪墊作用。
數(shù)學“實踐與綜合應(yīng)用”是新課程增設(shè)的一個內(nèi)容，這既是適應(yīng)教育改革發(fā)展的需要，也是數(shù)學教育發(fā)展的必然。注重實踐活動和人人學有價值的數(shù)學是數(shù)學課程的一個趨勢，強調(diào)讓學生做數(shù)學、用數(shù)學比讓學生知道數(shù)學事實更重要。
實踐活動與綜合應(yīng)用就是“做數(shù)學”、“用數(shù)學”的具體體現(xiàn)，實踐與綜合應(yīng)用是學生在教師的引導下，在已有知識體驗的基礎(chǔ)上，從所熟悉的現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)、選擇和確定問題，主動應(yīng)用知識解決問題的學習活動。它強調(diào)了與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系，強調(diào)了具體化的實踐。不僅有實踐要求，還要求學生綜合應(yīng)用知識來解決問題，即強調(diào)學生能將知識應(yīng)運到生活中去。
宋老師的《實踐與綜合應(yīng)用》解讀，讓我們對于數(shù)學實踐綜合活動課有了更進一步的理解。實踐綜合活動課的內(nèi)容可以是我們生活中提煉的，可以是教材中延伸的.，也可以是學習中生成的。這些平時被我們忽視的欄目，經(jīng)過今天的培訓，使參加培訓的教師認識到在以后的教學重要注意以下幾點：
1、要注重日常教學過程中的實踐活動；
2、要注重學生間的合作與交流；
3、要加強實踐活動的指導；
4、要重視在知識的形成與應(yīng)用中感受數(shù)學在生活中的作用；
5、要重視實踐活動后的評價交流。
小學數(shù)學培訓總結(jié)12
結(jié)合本次骨干教師培訓為了使自己教育理論和學術(shù)水平進一步提高，知識更新能力和教育教學能力進一步增強，從各方面不斷完善自己，提高自身綜合素質(zhì)，我制定了個人研修計劃，內(nèi)容：
第一積極參加各年段教研活動，與同組人員認真?zhèn)湔n，共同研討，把握好教材，積極思考并及時將工作心得記錄整理，形成自己的理論觀點及教學風格。認真閱讀《新課程標準》，《小學教學》等有關(guān)資料，鉆研新教材，新課標，研究教法，體會新課程的理念，提高自己的業(yè)務(wù)能力。以使自己在小學數(shù)學教育教學工作中能有所提高。
第二精心備課，認真上課；細心批改每一本作業(yè)，不錯批、漏批，探索趣味性作業(yè)，創(chuàng)新性作業(yè)。并及時做好批改記錄；尤其要多關(guān)注后進生，采用“一對一”以優(yōu)帶差、小組競爭的方式提高教育教學質(zhì)量和良好習慣的養(yǎng)成，以促進潛能生各方面能力的提高。積極學習先進的教育教學理論，轉(zhuǎn)變教育教學觀念，準確定位自己，用先進的理論充實自己、提高自己。經(jīng)常聽課，學習身邊老師的.寶貴經(jīng)驗，不斷提高自己教育水平。
第三經(jīng)常思考教育教學中出現(xiàn)的各種問題，積極把先進的教育理念轉(zhuǎn)化為教師的教學行為等，
從反思中提升教學研究水教研專區(qū)全新登場教學設(shè)計教學方法課題研究教育論文日常工作平。反省的過程中享受成功，彌補不足。在總結(jié)經(jīng)驗中完善自我。在自己的教學過程中，不斷總結(jié)，拓展教學內(nèi)容，優(yōu)化教學過程；
第四充分利用現(xiàn)代化信息技術(shù)手段，觀摩名家教學，撰寫讀書筆記、教學反思，在課堂教學中利用多媒體手段教學，激發(fā)學生學習的興趣，創(chuàng)設(shè)情景，提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、
解決問題的能力，培養(yǎng)學生良好的學習習慣。第五在提高自身素質(zhì)的同時，加強教師課堂教學技能口語訓練、粉筆字和普通話等的訓練。做到活到老學到老。總之，選擇了教師職業(yè)，就意味著教師終身與書本打交道，與人打交道。超時工作，超前學習，超時思維的勞動創(chuàng)造是教師必備的修養(yǎng)和習慣。通過本次骨干教師的培訓相信自己受益匪淺在今后的教育教學過程中，真正發(fā)揮一名骨干教師的作用指導引領(lǐng)探索創(chuàng)新求發(fā)展是我不懈追求的目標。
小學數(shù)學培訓總結(jié)13
為了進一步提高我縣教育教學質(zhì)量，促進教師隊伍業(yè)務(wù)素質(zhì)平衡發(fā)展，8月4日至6日，我校共有12位數(shù)學教師參加了在雙語學校舉行的全縣小學數(shù)學暑期培訓活動。經(jīng)過3天的培訓學習，教師在思想上、業(yè)務(wù)上都有了較大提高。
一、實施有效教學，構(gòu)建高效課堂
高效的課堂教學效果源于有效的課堂教學，實施有效教學又離不開教師的整體素質(zhì)的不斷提高。要構(gòu)建高效課堂，要提高教育質(zhì)量，必須提高課堂教學效果，要創(chuàng)造一個有利于學生生動活潑、主動發(fā)展的教育環(huán)境，提供給學生充分發(fā)展的時間和空間。課堂教學中，學生的學習應(yīng)該是主動、積極的，應(yīng)該充分激發(fā)學生的思維和創(chuàng)造力。通過觀摩《平行與相交》、《小數(shù)除以整數(shù)》兩節(jié)視頻課，無論從新課的導入還是學生在課堂教學中自主探究、合作交流，的確讓我們感到有效教學與高效課堂的密切聯(lián)系。來自再回頭看一看我們的課堂教師，學生是不是主角？是不是學習的主人？是不是真正“把課堂還給學生”？構(gòu)建高效課堂，實施有效教學，提高教學質(zhì)量與教師的個人素質(zhì)和水平是分不開。這就要求我們教師要不斷地學習、學習、再學習，不斷地更新、充實、拓寬的知識，正如縣教研室張主任在報告中所說的“減負提質(zhì)”等一系列措施，不斷提高自己的教育教學能力，幫助學生構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，形成知識體系，讓學生學會學習，這才是教育的真諦。
二、教材通研因有創(chuàng)意而精彩，為教師專業(yè)成長搭建平臺
4至6日，每天下午舉行的全縣小學數(shù)學教材通研活動，我感到收獲很大。這次教材通研內(nèi)容豐富，形式多樣，在各學校教研員的帶領(lǐng)下我們對全縣教師的網(wǎng)絡(luò)集體備課進行了進行了展評并現(xiàn)場打分，找出了存在的優(yōu)缺點，老師們對于這一做法都感到特別的滿意。在備課展評中，魯莊小學的集體備課給我們印象比較深，充分體現(xiàn)了集體備課的優(yōu)越性，既有集體備課時老師們的集體智慧，又有老師個人的獨特見解，效果非常好。教材通讀時，主講教師特別是獨樹小學的教研員，對各年級教材設(shè)計的主要思路和教材的主要特點進行了介紹，接著針對各冊教材的內(nèi)容安排，教學重難點，教材疑點、例題設(shè)計等進行了詳細的說明，同時對平時教學中應(yīng)注意的問題進行了分析，使參與活動的.教師對各年級教材有了全面而清晰的認識。教材研討時，各學校的教研員既說出了使用實驗教材的經(jīng)驗、感想，也設(shè)想了在使用教材進行教學時碰到的疑難問題，同時面對面互動交流了如何解決的策略，老師們積極參與，來自教材研究比較到位，為教材的合理使用打下堅實的基礎(chǔ)。作為一名教師，要把解讀教材當作一項基本功，只有教材解讀到位，才能實現(xiàn)用教材教向創(chuàng)作性的使用教材的轉(zhuǎn)變，提高我們的課堂教學效率。在這次展評活動中，我們學到了其他學校教師的優(yōu)秀的做法，找到了自己在備課中存在的問題，今后的工作中我們會取長補短努力把工作做好。
學科研討“充電”已經(jīng)成為老師們非常盼望的“營養(yǎng)大餐”，為教師專業(yè)成長搭建了有效平臺打下堅實基礎(chǔ)。
小學數(shù)學培訓總結(jié)14
“學高為師，身正為范”這句名言從我步入蚌埠師范那天起就深深地印在了我的心里。作為一名人民教師，教室就是揮灑人生的天地，沒有華麗的舞臺，沒有簇擁的鮮花。我們不像詩人那樣能寫出漂亮的詩歌；不像學者那樣有深邃的思想；更沒有歌手那動聽的歌喉。但我們有的是青春和熱血，有的是不計回報的奉獻。就像一首詩寫的那樣：“春蠶到死絲方盡，蠟炬成灰淚始干”，這不正是對教師最好的人生寫照嗎？
早在我讀初中時，老師就教我讀懂了教師的“奉獻”。我畢業(yè)于一所再普通不過的中學。但在我心中，那是一所美麗的學校。朱老師
是這所學校里德高望重的老師。教我時他已頭發(fā)花白，滿臉皺紋了。他當時是我初三班的班主任兼語文老師。他對學生的愛不局限于個別對象，而是面向全體，不管是優(yōu)等生，還是差等生，他都一視同仁。
當時學校要求畢業(yè)班住校上晚自習。由于學校宿舍緊張，朱老師就主動把自己的辦公室讓出來，給本班的幾個路遠的學生，還從家里弄來爐子給他們燒飯，自己卻把辦公室搬到班級的一角。每天上完晚自習還要跑上五六里路回家。有一次，因天黑路滑，還摔斷了手臂。
教師對學生的愛肩負著對一代人的教育使命。這種責任和愛能超越一切，匯聚成一股不可阻擋的力量。當然，教師對學生的愛不能沒有原則，而是在愛中滲透對學生的嚴格要求。
朱老師就是這樣，愛中有嚴，嚴中有愛，愛而不寵，嚴而有格，嚴慈相濟。作為一名男教師，他平時對待學生就像母親一樣；但他嚴厲起來，每一個學生都從心里敬畏。
記得班上有一名男同學非常聰明，但性格古怪，非常驕傲，成績一般。一次，他的數(shù)學作業(yè)由于馬虎做錯了。數(shù)學老師說了他幾句，他心里不服氣，還和數(shù)學老師吵了起來。因此，他放棄了學習，成績一落千丈。朱老師知道后，先是嚴厲地批評了他的錯誤做法，后來又幾次找他談心，使他從心里認識到自己的錯誤。在朱老師的傾心引導下，他逐漸地改變了自己的傲慢，腳踏實地地對待學習，學習成績直線上升，后來還考上了一所不錯的大學。我相信在他今后的人生旅途中，他一定會永遠記住朱老師，記住這個改變他一生的人。
還記得當時，我每次遇到難題或不開心的'事，我都會去找朱老師，每次朱老師都能給我滿意的答案�，F(xiàn)在，我也成為一名人民教師了，當我遇到困惑時，第一時間就會想起朱老師，想起他對我的真摯的教誨，身上就會有巨大的力量，給我充足的信心。現(xiàn)在朱老師雖然已經(jīng)退休了，但師愛無疆，現(xiàn)在依然關(guān)心著我的成長。每次給他寫信，年已花甲的朱老師，都會很認真很仔細地給我回信。在信中，諄諄教導我，要我愛生如子，要我愛校如家。在朱老師的熏陶下，我也一定會像他一樣，愛我的學生，愛我的崗位。
朱老師所作的每一件事都是那么平平常常，但在我的心里，比詩人的詩句更優(yōu)美;比學者的思想更深邃；比歌手的歌喉更動聽。作為一名人民教師，我們是平凡的，但我們擁有執(zhí)著于教育事業(yè)的赤誠之心。
親愛的同行們，讓我們在這普通的崗位上，在這平淡的工作中，像我的老師一樣，燃燒青春，奉獻自己，為教育事業(yè)爭光添彩。讓我
們攜起手來，共創(chuàng)輝煌的明天！國培隨想
古藺鎮(zhèn)玉田小學：羅政容
懷著崇敬的心情，仔細聆聽了專家生動而富有活力的講座，真是受益匪淺。
這次國培以特殊的方式給我們提供了學習的平臺，給我們提供了教學交流互動的窗口，讓我們更進一步認識了培訓的深刻含義，同時，
在新的形勢下，也給我們帶來了前所未有的緊迫感，責任感，時代感。當老師，當一位好老師，真的應(yīng)該“活到老，學到老”。
通過這段時間的學習，讓我深刻明白了：
1、靜下心來，潛心學習專業(yè)知識，不斷提高自身的素質(zhì)，非常有必要。
2、學習中結(jié)合實際不斷反思，在反思中不斷探索。
3、理論與實踐相結(jié)合，利教利學。
國培助我成長
古藺鎮(zhèn)玉田小學：羅政容
從事教學工作多年，教學熱情一年不如一年，一接到參訓“國培”的通知，一片茫然。以前聽說過國培，但沒能親身體驗，對學習的內(nèi)容和要求都不了解，當我順利的完成了注冊、登錄、選課、學習等一系列任務(wù)，感覺自己像打了勝仗一樣。聽著專家的精彩講解，我的心里美美的，初學國培，真好！
一舉多得
國培為我們一線教師提供了一個全新的學習平臺，大家在這樣一個全新的學習平臺上不僅加強了理論素養(yǎng)的學習，更提供了一個相互學習、相互交流的平臺，結(jié)交了一批志同道合的教師，在學習中收獲了知識，提高了能力，結(jié)識了朋友。國培不再是一個被動的“應(yīng)試”的學習，變成了大家主動學習、提高的過程。
學以致用
在學習中，我將所學運用到自己的教學中來，解決了自己教學中的實際問題。
以前在識字教學中，總是采用老一套的“經(jīng)驗”，學生學得吃力，我也教的費力，效果卻不盡人意，通過國培學習，認識到每種識字方法都有其長處和短處，要選擇科學的識字方法，在各種方法中不斷優(yōu)化，選擇適合自己和學生的識字方法。通過改進自己的教學方法，現(xiàn)在學生識字熱情得到激發(fā)，效果也不錯。體會到國培給我?guī)淼暮锰帲以俅握J真的開始國培的學習。踏上新的征程！
小學數(shù)學培訓總結(jié)15
我參加了芷江縣小學數(shù)學暑期培訓讓我受益匪淺，感觸頗多，雖然天氣炎熱，有時很困很乏，但老師精彩的發(fā)言，令人如飲甘露一般舒暢！我感觸較深的有以下幾點：
一、通過學習現(xiàn)代教學理論，更新我們的育人觀念。
通過培訓，使我們認識到傳統(tǒng)教育的一言堂要摒棄，課堂教學要體現(xiàn)學生的主體地位，學生是學習的主人，教師起主導作用，要引導學生動起來，教師提出問題，要讓學生去分析，去探討，去解決問題；教師“一桶水”的理念已不能滿足職業(yè)要求，教師要樹立“終身學習”的新教育教學理念，努力使自己向“學者型、鉆研型”的教師靠攏。通過集中理論學習，使我們逐步更新了教育教學觀念，進一步認識到課程標準應(yīng)當是一個基本的標準，是絕大多數(shù)學生通過努力能夠達到的；現(xiàn)代化的教育不是精英教育、選拔教育，其內(nèi)容和要求應(yīng)該是基礎(chǔ)的、有限的和具有發(fā)展性的不能任意擴大、拔高；學校教育不是終結(jié)性教育，其課改要給學生全面而豐富的發(fā)展留有充分的時間和空間，應(yīng)有利于學生自主、多樣、持續(xù)地發(fā)展。通過學習了解了先進的教育科學基本理論，現(xiàn)代教育觀、學生觀和學習觀，在教學活動中遵循客觀規(guī)律、調(diào)整自身的角色和教學方式，把素質(zhì)教育貫穿到科學教學過程中。各位專家和教授講座的內(nèi)容在我心中掀起了陣陣波瀾，不僅讓我了解到了前沿的.教育教學改革動態(tài)，而且還學到了先進的教學理念，在專家講授的一些教育教學實例中產(chǎn)生了共鳴，從而讓我能從理論的層次來解釋自己在教育教學中碰到的一些現(xiàn)象，也為我今后的課堂教學工作指明了方向。我們深深感到，我們只有與時俱進，恪守師德，勇于探索、敢于創(chuàng)新、尊重學生，具有豐富的專業(yè)知識和技能，才能成為名師。
二、老師新理念的引入，使我深刻反思
在培訓過程中，老師闡述了自己對小學數(shù)學的獨特見解，比如：轉(zhuǎn)變學生的學習方式，引導學生自主探索，創(chuàng)設(shè)民主和諧的教學氛圍，鼓勵學生和他人合作學習、交流分享，在老師的引領(lǐng)下，我的思想深深受到震撼，作為一名數(shù)學教師，我思考得太少，平時對如何上好一節(jié)課，對于學生的長期發(fā)展考慮得并不多，甚至是忽視了這一方面。以前重視知識的落實，忽視知識的形成過程；重視單一解答方法的教學，忽視數(shù)學思想方法的滲透，聽了本次培訓后，使我明確了以后努力的方向，在今后的教學生涯中，我要不斷地學習理論知識，學習新的課改經(jīng)驗，使自己成為一名學習型的老師，真正做到“活到老，學到老”。
三、調(diào)整心態(tài)，是教師有效成長的關(guān)鍵因素。 通過本次的培訓學習，使我們更加明白一個道理：那就是調(diào)整好心態(tài)，是教師有效成長的關(guān)鍵因素。老師是社會中的平凡人，生活中也會遇到各種不順心的事和困難，心態(tài)也隨之受到影響，時陰時晴。好心態(tài)是老師的必需品，是創(chuàng)造教學氣氛的重要因素，是拉近師生距離，提高教學效率的基石，也是實現(xiàn)校園和諧、師生和諧、教學和諧的基礎(chǔ)。在物欲橫飛的時代中，好心態(tài)是教師更好發(fā)展的關(guān)鍵要素。教師良好心態(tài)必將促進教師健康的發(fā)展。好的心態(tài)決定教師生活是否幸福。好的心態(tài)還決定教師的工作能力。
四、讓學生盡情享受有營養(yǎng)的數(shù)學大餐。
我們知道：只有屬于學生自己的數(shù)學才是最美的數(shù)學，只有屬于學生自己的課堂才是最有魅力的課堂。那么，學生需要什么樣的數(shù)學呢？那就是既有營養(yǎng)又好吃的數(shù)學。有營養(yǎng)的數(shù)學就是學生在學習數(shù)學的過程中獲得持續(xù)發(fā)展所需要的基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學思維方式、科學探究態(tài)度以及解決實際問題的能力等。好吃的數(shù)學就是適學生口味的數(shù)學，即孩子們喜歡的數(shù)學。
五、一節(jié)好的數(shù)學課，新在理念、巧在設(shè)計、贏在實踐、成在后續(xù)。
從學生的實際出發(fā)，了解學生的情感需求和認知特點，了解學生的已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，注重學生合作探究的意識和能力培養(yǎng)，注重數(shù)學思維方法的滲透。真正讓學生在觀察、操作、推理、驗證的過程中體驗數(shù)學，讓學生在數(shù)學活動中自主學習數(shù)學，讓學生在應(yīng)用數(shù)學的過程中不斷拓展數(shù)
六、終身學習是教師成長的不竭之力
因為教師的職業(yè)是教書育人，所以活到老，學到老，終身學習，才能適應(yīng)新課程改革的需要。使我們深刻的認識到作為一名教師，要堅持不斷地學習，積極進行知識的更新。隨著時代的進步，教育現(xiàn)代化工程的不斷推進，當前以多媒體與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)為核心的現(xiàn)代教育技術(shù)的迅速興起，正猛烈地沖擊著各學科的教學。在網(wǎng)絡(luò)理論下知識突破了原有書本的限制，教學觀念、教學主體、教學策略、教學過程和教學形式都發(fā)生更本改變。傳統(tǒng)教學模式已不能適應(yīng)新課改的需求，現(xiàn)行的教育要為學生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)，讓學生學會做人、學會求知、學會合作、學會實踐、學會創(chuàng)新。
總之，經(jīng)過這次教師的培訓學習，感觸頗多。這次培訓使我提高了認識，理清了思路，找到了自身的不足之處以及與一名優(yōu)秀教師的差距所在，對于今后如何更好的提高自己必將起到巨大的推動作用，我將以此為起點，在未來的教學活動中，我將振作精神更加深入學習并大膽踐行培訓理念，不斷精益求精，積累新型的科學素養(yǎng)和人文素養(yǎng)，調(diào)整心態(tài)，促進自身專業(yè)能力的提高。
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