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等比數(shù)列教案
作為一名教師，就有可能用到教案，借助教案可以有效提升自己的教學(xué)能力。教案應(yīng)該怎么寫才好呢？下面是小編整理的等比數(shù)列教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
等比數(shù)列教案1
【教學(xué)目標(biāo)】
知識(shí)目標(biāo)：正確理解等比數(shù)列的定義，了解公比的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,了解等比數(shù)列在生活中的應(yīng)用。
能力目標(biāo)：通過(guò)對(duì)等比數(shù)列概念的歸納，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣；通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的研究，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維能力并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生善于思考，解決問(wèn)題的能力。
情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于猜想的學(xué)習(xí)態(tài)度，實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極情感，主動(dòng)參與學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)文化。
【教學(xué)重點(diǎn)】
等比數(shù)列定義的歸納及運(yùn)用。
【教學(xué)難點(diǎn)】
正確理解等比數(shù)列的定義，根據(jù)定義判斷或證明某些數(shù)列是否為等比數(shù)列
【教學(xué)手段】
多媒體輔助教學(xué)
【教學(xué)方法】
啟發(fā)式和討論式相結(jié)合,類比教學(xué).
【課前準(zhǔn)備】
制作多媒體課件，準(zhǔn)備一張白紙,游標(biāo)卡尺。
【教學(xué)過(guò)程】
【導(dǎo)入】
復(fù)習(xí)回顧：等差數(shù)列的定義。
創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，三個(gè)實(shí)例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。
1． 利用游標(biāo)卡尺測(cè)量一張紙的厚度.得數(shù)列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)
2． 一輛汽車的售價(jià)約15萬(wàn)元,年折舊率約為10%,計(jì)算該車5年后的價(jià)值。得到數(shù)列 15 ,15×0.9 ,15×0.92 ,15×0.93 ,…，15×0.95。
3． 復(fù)利存款問(wèn)題，月利率5%，計(jì)算10000元存入銀行1年后的本利和。得到數(shù)列10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.0512.
學(xué)生探究三個(gè)數(shù)列的共同點(diǎn)，引出等比數(shù)列的定義。
【新課講授】
由學(xué)生根據(jù)共同點(diǎn)及等差數(shù)列定義,自己歸納等比數(shù)列的定義，再由老師分析定義中的關(guān)鍵詞句,并啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列各項(xiàng)的限制條件：等比數(shù)列各項(xiàng)均不為零，公比不為零。
等差數(shù)列:
一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的.公差,通常用d表示.數(shù)學(xué)表達(dá)式： an+1-an=d
等比數(shù)列:
一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用q表示.數(shù)學(xué)表達(dá)式： an?1
an?q
知曉定義的基礎(chǔ)上，帶領(lǐng)學(xué)生看書p29頁(yè)，書上前面出現(xiàn)的關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)
例。讓學(xué)生了解等比數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用很廣泛，要認(rèn)真學(xué)好。
在學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的定義有了初步了解的基礎(chǔ)上，講解例一。給出具體的數(shù)列，會(huì)利用定義判斷是否為等比數(shù)列。對(duì)（1）（5）兩小題著重分析.
等比數(shù)列教案2
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.知識(shí)與技能：理解并掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并且能夠初步應(yīng)用。
2.過(guò)程與方法：通過(guò)觀察、類比、猜測(cè)等推理方法，提高我們分析、綜合、抽象、
概括等邏輯思維能力。
3.情感態(tài)度價(jià)值觀：體會(huì)類比在研究新事物中的作用，了解知識(shí)間存在的共同規(guī)律。
二、重點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用。
難點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用。
三、教學(xué)過(guò)程。
同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，又學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，今天我們繼續(xù)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用。我給大家發(fā)了導(dǎo)學(xué)稿，讓大家做了預(yù)習(xí)，現(xiàn)在找同學(xué)對(duì)照下面的表格說(shuō)說(shuō)等差數(shù)列和等比數(shù)列的差別。
數(shù)列名稱 等差數(shù)列 等比數(shù)列
定義 一個(gè)數(shù)列，若從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)之差都是同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列。 一個(gè)數(shù)列，若從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比都是同一個(gè)非零常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列。
定義表達(dá)式 an-an-1=d (n≥2)
(q≠0)
通項(xiàng)公式證明過(guò)程及方法
an-an-1=d; an-1-an-2=d，
…a2-a1=d
an-an-1+ an-1-an-2+…+a2-a1=(n-1)d
an=a1+(n-1)*d
累加法 ; …….
an=a1q n-1
累乘法
通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)*d an=a1q n-1
多媒體投影(總結(jié)規(guī)律)
數(shù)列名稱 等差數(shù)列 等比數(shù)列
定 義 等比數(shù)列用“比”代替了等差數(shù)列中的“差”
定 義
表
達(dá) 式 an-an-1=d (n≥2)
通項(xiàng)公式證明
迭加法 迭乘法
通 項(xiàng) 公 式
加-乘
乘—乘方
通過(guò)觀察，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：
等差數(shù)列中的 減法、加法、乘法，
等比數(shù)列中升級(jí)為 除法、乘法、乘方.
四、探究活動(dòng)。
探究活動(dòng)1：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)1;等差數(shù)列的性質(zhì)1;猜想等比數(shù)列的性質(zhì)1;性質(zhì)證明。
練習(xí)1 在等差數(shù)列{an}中，a2= -2,d=2，求a4=_____..(用一個(gè)公式計(jì)算) 解：a4= a2+(n-2)d=-2+(4-2)*2=2
等差數(shù)列的性質(zhì)1： 在等差數(shù)列{an}中, a n=am+(n-m)d.
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)1 若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則an=am*qn-m
性質(zhì)證明 右邊= am*qn-m= a1qm-1qn-m= a1qn-1=an=左邊
應(yīng)用 在等比數(shù)列{an}中，a2= -2 ,q=2，求a4=_____. 解：a4= a2q4-2=-2*22=-8
探究活動(dòng)2：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)2;等差數(shù)列的性質(zhì)2;猜想等比數(shù)列的性質(zhì)2;性質(zhì)證明。
練習(xí)2 在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8的值為 . 解：a3+a4+a5+a6+a7=(a3+ a7)+(a4+ a6)+ a5= 2a5+2a5+a5=5 a5=450 a5=90 a2+a8=2×90=180
等差數(shù)列的性質(zhì)2： 在等差數(shù)列{an}中, 若m+n=p+q,則am+an=ap+aq 特別的，當(dāng)m=n時(shí)，2 an=ap+aq
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)2 在等比數(shù)列{an} 中，若m+n=s+t則am*an=as*at 特別的，當(dāng)m=n時(shí)，an2=ap*aq
性質(zhì)證明 右邊=am*an= a1qm-1 a1qn-1= a12qm+n-1= a12qs+t-1=a1qs-1 a1qt-1= as*at=左邊 證明的方向:一般來(lái)說(shuō)，由繁到簡(jiǎn)
應(yīng)用 在等比數(shù)列{an}若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,則a3+a5=_____. 解：a2a4+2a3a5+a4a6= a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36
由于an>0，a3+a5>0,a3+a5=6
探究活動(dòng)3：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)3;等差數(shù)列的性質(zhì)3;猜想等比數(shù)列的性質(zhì)3;性質(zhì)證明。
練習(xí)3 在等差數(shù)列{an}中，a30=10,a45=90,a60=_____. 解：a60=2* a45- a30=2×90-10=170
等差數(shù)列的性質(zhì)3： 若an-k,an,an+k是等差數(shù)列{an}中的三項(xiàng)， 則這些項(xiàng)構(gòu)成新的等差數(shù)列，且2an=an-k+an+k
an即時(shí)an-k,an,an+k的等差中項(xiàng)
猜想等比數(shù)列的`性質(zhì)3 若an-k,an,an+k是等比數(shù)列{an}中的三項(xiàng)，則這些項(xiàng)構(gòu)成新的等比數(shù)列，且an2=an-k*an+k
an即時(shí)an-k,an,an+k的等比中項(xiàng)
性質(zhì)證明 右邊=an-k*an+k= a1qn-k-1 a1qn+k-1= a12qn-k-1+n+k-1= a12q2n-2=(a1qn-1) 2t=an2左邊 證明的方向:由繁到簡(jiǎn)
應(yīng)用 在等比數(shù)列 {an}中a30=10,a45=90,a60=_____.
解：a60= = =810
應(yīng)用 等比數(shù)列{an}中，a15=10, a45=90,a60=________. 解：
a30= = = 30
A60=
探究活動(dòng)4：小組根據(jù)導(dǎo)學(xué)稿內(nèi)容研討等比數(shù)列的性質(zhì)，并派學(xué)生代表上來(lái)講解練習(xí)4;等差數(shù)列的性質(zhì)4;猜想等比數(shù)列的性質(zhì)4;性質(zhì)證明。
練習(xí)4 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 都是等差數(shù)列，若a1+b1=7,a3+b3=21,則a5+b5=_____. 解：a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2*21-7=35
等差數(shù)列的性質(zhì)4： 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公差分別為d1、d2的等差數(shù)列,則數(shù)列{an+bn}是公差d1+d2的等差數(shù)列 兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等差數(shù)列的和任然是等差數(shù)列
猜想等比數(shù)列的性質(zhì)4 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比數(shù)列,則數(shù)列{an*bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列 兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列的和比一定是等比數(shù)列，兩個(gè)項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列的積任然是等比數(shù)列。
性質(zhì)證明 證明：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比為q1; {bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q2，設(shè)cn=anbn那么數(shù)列{anbn} 的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為：
應(yīng)用 設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 都是等比數(shù)列，若a1b1=7,a3b3=21,則a5b5=_____. 解：由題意可知{anbn}是等比數(shù)列，a3b3是a1b1;a5b5的等比中項(xiàng)。
由(a3b3)2= a1b1* a5b5 212= 7* a5b5 a5b5=63
(四個(gè)探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)充分尊重學(xué)生的主體地位，以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，自主探究為主題，以教師的指導(dǎo)為輔，開(kāi)展教學(xué)活動(dòng))
五、等比數(shù)列具有的單調(diào)性
(1)q<0,等比數(shù)列為 擺動(dòng) 數(shù)列， 不具有 單調(diào)性
(2)q>0(舉例探討并填表)
a1 a1>0 a1<0
q的范圍 0 q=1 q>1 0 q=1 q>1
{an}的單調(diào)性 單調(diào)遞減 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞減
讓學(xué)生舉例說(shuō)明，并查驗(yàn)有多少學(xué)生填對(duì)。(真確評(píng)價(jià))
六、課堂練習(xí)：
1、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6等于( ).
A. B.7 C.6 D.
解析:由已知得a32=5, a82=10,
∴a4a5a6=a53= = =5 .
答案:A
2、已知數(shù)列1,a1,a2,4是等比數(shù)列,則a1a2= .
答案:4
3、 +1與 -1兩數(shù)的等比中項(xiàng)是( ).
A.1 B.-1 C. D.±1
解析：根據(jù)等比中項(xiàng)的定義式去求。答案:選D
4、已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3a9=2 ,a2=1,則a1等于( ).
A.2 B. C. D.
解析:∵a3a9= =2 ,∴ =q2=2,∵q>0,∴q= .故a1= = = .
答案:C
5練習(xí)題：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，
它們的積等于64，求這三個(gè)數(shù)。
分析：若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則設(shè)這三個(gè)數(shù)為a-d,a,a+d.
由類比思想的應(yīng)用可得，若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則設(shè)這三個(gè)數(shù)
為： 根據(jù)題意
再由方程組可得：q=2 或
既這三個(gè)數(shù)為2，4，8或8，4，2。
七、小結(jié)
本節(jié)課通過(guò)觀察、類比、猜測(cè)等推理方法，研究等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，從而培養(yǎng)和提高我們綜合運(yùn)用分析、綜合、抽象、概括，邏輯思維解決問(wèn)題的能力。
八、
§3.1.2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
性質(zhì)一：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則an=am*qn-m
性質(zhì)二：在等比數(shù)列{an} 中，若m+n=s+t則am*an=as*at
性質(zhì)三：若an-k,an,an+k是等比數(shù)列{an}中的三項(xiàng)，則這些
項(xiàng)構(gòu)成新的等比數(shù)列，且 an2=an-k*an+k
性質(zhì)四：設(shè)數(shù)列{an} 、{ bn} 是公比分別為q1、q2的等比
數(shù)列,則數(shù)列{an*bn}是公比為q1q2的等比數(shù)列
板書設(shè)計(jì)
九、反思
等比數(shù)列教案3
等比數(shù)列的性質(zhì)
知能目標(biāo)解讀
1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來(lái)。
2.理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用。
3.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并能綜合運(yùn)用。
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用。
難點(diǎn)：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用。
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)三項(xiàng)及以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)新的數(shù)列，則此數(shù)列仍為等比數(shù)列，這是因?yàn)殡S意取出連續(xù)三項(xiàng)及以上的數(shù)，則以取得的第一個(gè)數(shù)為首項(xiàng)，且仍滿足從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)量仍為原數(shù)列的公比，所以，新形成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。
2.在等比數(shù)列中，我們?nèi)稳∠陆菢?biāo)成等差的三項(xiàng)及以上的數(shù)，按原數(shù)列的先后順序排列所構(gòu)成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，簡(jiǎn)言之：下角標(biāo)成等差，項(xiàng)成等比。我們不妨設(shè)從等比數(shù)列{an}中依次取出的數(shù)為ak，ak+m，ak+2m，ak+3m，…，則===…=qm(q為原等比數(shù)列的公比)，所以此數(shù)列成等比數(shù)列。
3.如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q，c是不等于零的常數(shù)，那么數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，且公比仍為q；？{|an|}？也是等比，且公比為|q|.我們可以設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，且滿足=q，則==q，所以數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，公比為q.同理，可證{|an|}也是等比數(shù)列，公比為|q|.
4.在等比數(shù)列{an}中，若m+n=t+s且m，n，t，s∈N+則aman=atas.理由如下：因?yàn)閍man=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2，atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2，又因?yàn)閙+n=t+s，所以m+n-2=t+s-2，所以aman=atas.從此性質(zhì)還可得到，項(xiàng)數(shù)確定的等比數(shù)列，距離首末兩端相等的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)之積。
5.若{an}，{bn}均為等比數(shù)列，公比分別為q1，q2，則
(1){anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2.
(2){}仍為等比數(shù)列，且公比為.
理由如下：(1)=q1q2，所以{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2；(2)=，所以{}仍為等比數(shù)列，且公比為.
知能自主梳理
1.等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系
(1)兩項(xiàng)關(guān)系
通項(xiàng)公式的推廣：
an=am(m、n∈N+).
(2)多項(xiàng)關(guān)系
項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，則aman=.
特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，則aman=.
2.等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性
有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積(若有中間項(xiàng)則等于中間項(xiàng)的平方)，即a1an=a2=ak=a2(n為正奇數(shù)).
[答案] 1.qn-m apaq a2p
2.an-1 an-k+1
思路方法技巧
命題方向 運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)an=amqn-m(m、n∈N+)解題
[例1] 在等比數(shù)列{an}中，若a2=2，a6=162，求a10.
[分析] 解答本題可充分利用等比數(shù)列的`性質(zhì)及通項(xiàng)公式，求得q，再求a10.
[解析] 解法一：設(shè)公比為q，由題意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×(-3)9=13122.
解法二：∵a6=a2q4，∴q4===81，∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比數(shù)列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
[說(shuō)明] 比較上述三種解法，可看出解法二、解法三利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、明了，因此要熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，在解有關(guān)等比數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用。
變式應(yīng)用1 已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，且q≠1，試比較a1+a8與a4+a5的大小。
[解析] 解法一：由已知條件a1>0，q>0，且q≠1，這時(shí)
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)(1-q4)
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0，顯然，a1+a8>a4+a5.
解法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解。
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
當(dāng)0
當(dāng)q>1時(shí)，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞增，1-q3與a1-a5同為負(fù)數(shù)，∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正。
∴a1+a8>a4+a5.
命題方向運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)aman=apaq(m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q)解題
[例2] 在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12=5，則a8a9a10a11=( )
A.10 B.25 C.50 D.75
[分析] 已知等比數(shù)列中兩項(xiàng)的積的問(wèn)題，常常離不開(kāi)等比數(shù)列的性質(zhì)，用等比數(shù)列的性質(zhì)會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。
[答案] B
[解析] 解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
[說(shuō)明] 在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算，若按照常規(guī)解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來(lái)很麻煩，為此我們經(jīng)常結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)行整體變換，會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的效果。
變式應(yīng)用2 在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正數(shù)，且a6a10+a3a5=41，a4a8=5，求a4+a8.
[解析] ∵a6a10=a28，a3a5=a24，∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5，an>0，∴a4+a8===.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向 等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用
[例3] 試判斷能否構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{an}，使其滿足下列三個(gè)條件：
�、賏1+a6=11；②a3a4=；③至少存在一個(gè)自然數(shù)m，使am-1，am，am+1+依次成等差數(shù)列，若能，請(qǐng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。
[分析] 由①②條件確定等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證是否符合條件③.
[解析] 假設(shè)能夠構(gòu)造出符合條件①②的等比數(shù)列{an}，不妨設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由條件①②及a1a6=a3a4，得
a1+a6=11 a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
從而，或.
q=2q=
故所求數(shù)列的通項(xiàng)為an=2n-1或an=26-n.
對(duì)于an=2n-1，若存在題設(shè)要求的m，則
2am=am-1+(am+1+)，得
2(2m-1)=2m-2+2m+，得
2m+8=0，即2m=-8，故符合條件的m不存在。
對(duì)于an=26-n，若存在題設(shè)要求的m，同理有
26-m-8=0，即26-m=8，∴m=3.
綜上所述，能夠構(gòu)造出滿足條件①②③的等比數(shù)列，通項(xiàng)為an=26-n.
[說(shuō)明] 求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意方程思想在解題中的應(yīng)用。
變式應(yīng)用3 在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，……成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn.
[解析] 由題意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，又d≠0，∴a1=d.
∴an=nd.
又a1，a3，ak1，ak2，……，akn，……成等比數(shù)列，∴該數(shù)列的公比為q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd，∴kn=3n+1.
所以數(shù)列{kn}的通項(xiàng)為kn=3n+1.
名師辨誤做答
[例4] 四個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且前三項(xiàng)之積為1，后三項(xiàng)之和為1，求這個(gè)等比數(shù)列的公比。
[誤解] 設(shè)這四個(gè)數(shù)為aq-3，aq-1，aq，aq3，由題意得
a3q-3=1，①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q，把a(bǔ)=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0，解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比為.
[辨析] 上述解法中，四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q2，則公比為正數(shù)，但題設(shè)并無(wú)此條件，因此導(dǎo)致結(jié)果有誤。
[正解] 設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a，aq，aq2，aq3，由題意得
(aq)3=1， �、�
aq+aq2+aq3=1. ②
由①得a=q-1，把a(bǔ)=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0，解得q=或q=-，故所求公比為或-.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.在等比數(shù)列{an｝中，若a6=6，a9=9，則a3等于( )
A.4 B. C. D.3？
[答案] A？
[解析] 解法一：∵a6=a3q3，∴a3q3=6.？
a9=a6q3，∴q3==.
∴a3==6×=4.
解法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得
a26=a3a9，∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比數(shù)列{an｝中，a4+a5=10，a6+a7=20，則a8+a9等于( )
A.90 B.30 C.70 D.40
[答案] D
[解析] ∵q2==2，？
∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.
3.如果數(shù)列{an｝是等比數(shù)列，那么( )？
A.數(shù)列{a2n｝是等比數(shù)列 B.數(shù)列{2an｝是等比數(shù)列
C.數(shù)列{lgan｝是等比數(shù)列 D.數(shù)列{nan｝是等比數(shù)列
[答案] A
[解析] 數(shù)列{a2n｝是等比數(shù)列，公比為q2，故選A.
二、填空題
4.若a，b，c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則它們的公比為.？
[答案] 1？
2b=a+c，[解析] 由題意知
b2=ac，解得a=b=c，∴q=1.
5.在等比數(shù)列{an｝中，公比q=2，a5=6，則a8=.？
[答案] 48
[解析] a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答題
6.已知{an}為等比數(shù)列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11.？
[解析] ∵{an}為等比數(shù)列，？
∴a1a9=a3a7=64，又a3+a7=20，？
∴a3，a7是方程t2-20t+64=0的兩個(gè)根。？
∴a3=4，a7=16或a3=16，a7=4，？
當(dāng)a3=4時(shí)，a3+a7=a3+a3q4=20，？
∴1+q4=5，∴q4=4.？
當(dāng)a3=16時(shí)，a3+a7=a3(1+q4)=20，∴1+q4=，∴q4=.？
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.在等比數(shù)列{an}中，a4=6，a8=18，則a12=( )
A.24 B.30 C.54 D.108？
[答案] C？
[解析] ∵a8=a4q4，∴q4===3，∴a12=a8q4=54.
2.在等比數(shù)列{an｝中，a3=2-a2，a5=16-a4，則a6+a7的值為( )
A.124 B.128 C.130 D.132
[答案] B？
[解析] ∵a2+a3=2，a4+a5=16，？
又a4+a5=(a2+a3)q2，∴q2=8.？
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.
3.已知{an｝為等比數(shù)列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20？
[答案] A？
[解析] ∵a32=a2a4，a52=a4a6，？
∴a32+2a3a5+a52=25，∴(a3+a5)2=25，？
又∵an>0，∴a3+a5=5.
4.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an｝中，a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根，則a8a10a12等于( )
A.16 B.32 C.64 D.256？
[答案] C？
[解析] 由已知，得a1a19=16，？
又∵a1a19=a8a12=a102，∴a8a12=a102=16，又an>0，？
∴a10=4，∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9=2a25，a2=1，則a1=( )？
A. B. C. D.2？
[答案] B？
[解析] ∵a3a9=a26，又∵a3a9=2a25，？
∴a26=2a25，∴()2=2，？
∴q2=2，∵q>0，∴q=.
又a2=1，∴a1===.
6.在等比數(shù)列{an｝中，an>an+1，且a7a11=6，a4+a14=5，則等于( )
A. B. C. D.6
[答案] A
a7a11=a4a14=6
[解析] ∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵an>an+1，∴a4=3，a14=2.
∴==.
7.已知等比數(shù)列{an｝中，有a3a11=4a7，數(shù)列{bn｝是等差數(shù)列，且b7=a7，則b5+b9等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
[答案] C
[解析] ∵a3a11=a72=4a7，∵a7≠0，∴a7=4，∴b7=4，∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0
( )
A.等差數(shù)列？ B.等比數(shù)列？
C.各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列？ D.以上都不對(duì)？
[答案] C？
[解析] ∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac.？
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=，？
∴+=.
二、填空題
9.等比數(shù)列{an｝中，an>0，且a2=1+a1，a4=9+a3，則a5-a4等于.
[答案] 27
[解析] 由題意，得a2-a1=1，a4-a3=(a2-a1)q2=9，∴q2=9，又an>0，∴q=3.？
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.
10.已知等比數(shù)列{an｝的公比q=-，則等于.
[答案] -3
[解析] =
==-3.
11.等比數(shù)列{an}中，an>0，且a5a6=9，則log3a2+log3a9=.
[答案] 2
[解析] ∵an>0，∴l(xiāng)og3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.(20xx廣東文，11)已知{an｝是遞增等比數(shù)列，a2=2，a4-a3=4，則此數(shù)列的公比q= .
[答案] 2？
[解析] 本題主要考查等比數(shù)列的基本公式，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可解得。
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，？
因?yàn)閍2=2，所以q2-q-2=0，解得q=-1，或q=2.
因?yàn)閍n為遞增數(shù)列，所以q=2.
三、解答題
13.在等比數(shù)列{an｝中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比為整數(shù)，求a10.
[解析] ∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比為整數(shù)，∴a3=-4，a8=128，q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×(-2)7=512.
14.設(shè){an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3，b1b2b3=-3，求此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an.？
[解析] 由b1+b2+b3=3，？
得log2(a1a2a3)=3，∴a1a2a3=23=8，∵a22=a1a3，∴a2=2，又b1b2b3=-3，設(shè)等比數(shù)列{an｝的公比為q，得？
log2()log2(2q)=-3.
解得q=4或，∴所求等比數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式為
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工廠20xx年生產(chǎn)某種機(jī)器零件100萬(wàn)件，計(jì)劃到20xx年把產(chǎn)量提高到每年生產(chǎn)121萬(wàn)件。如果每一年比上一年增長(zhǎng)的百分率相同，這個(gè)百分率是多少？20xx年生產(chǎn)這種零件多少萬(wàn)件？.
[解析] 設(shè)每一年比上一年增長(zhǎng)的百分率為x，則從20xx年起，連續(xù)3年的產(chǎn)量依次為a1=100，a2=a1(1+x)，a3=a2(1+x)，即a1=100，a2=100(1+x)，a3=100(1+x)2，成等比數(shù)列。
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21，∴1+x=1.1或1+x=-1.1，？
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，？
a2=100(1+x)=110(萬(wàn)件)，？
所以每年增長(zhǎng)的百分率為10%，20xx年生產(chǎn)這種零件110萬(wàn)件。
16.等差數(shù)列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比數(shù)列。求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和S20.
[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d.
由a3，a6，a10成等比數(shù)列得a3a10=a26，？
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2，？
整理得10d2-10d=0，解得d=0或d=1.
當(dāng)d=0時(shí)，S20=20a4=200，？
當(dāng)d=1時(shí)，a1=a4-3d=10-3×1=7，？
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.
等比數(shù)列教案4
一、教材分析與學(xué)情分析
“等比數(shù)列前n項(xiàng)和(一)”是教學(xué)等差數(shù)列前n項(xiàng)和后的數(shù)列求和，它是數(shù)列教學(xué)的重點(diǎn)。因此，知識(shí)目標(biāo)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式推導(dǎo)和思路，它是本節(jié)的重點(diǎn)，也是基于等比數(shù)列的“等比”特性的一種特殊求和方法。再對(duì)公比q的討論，從而得到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。
由于是理科實(shí)驗(yàn)班的教學(xué)，學(xué)生起點(diǎn)高，能力較強(qiáng)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情景，引出數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，在“觀察”、“類比”、“分析”、“思考”、“探究”等活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，通過(guò)親身的探究，主動(dòng)的思考，進(jìn)而聯(lián)想推出等比數(shù)列的求和公式。而德育目標(biāo)則是通過(guò)自主探究，學(xué)生自己動(dòng)手，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，陶冶學(xué)生的情操，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度和創(chuàng)新精神。本課融數(shù)學(xué)文化于其中，使學(xué)生在良好的數(shù)學(xué)文化的氛圍中快樂(lè)的學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)的美中享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)。
二、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式推導(dǎo)和思路;
2.培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng);
3.會(huì)靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決問(wèn)題.
三、教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)
1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;
2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo).
教學(xué)難點(diǎn)
1.錯(cuò)項(xiàng)相減的數(shù)學(xué)思想方法
2.使用公式求和時(shí)，對(duì)q=1和q≠1的情況加以討論;
四、教學(xué)方法
1.啟發(fā)討論法(老師引導(dǎo)，學(xué)生自己動(dòng)手，學(xué)生討論)
2.利用多媒體、投影儀
五、設(shè)計(jì)思路
1.等比數(shù)列n項(xiàng)和公式(一)教學(xué)的“三步曲”
第一步，由故事創(chuàng)設(shè)情景，使學(xué)生提出問(wèn)題，進(jìn)而引出課題
第二步，學(xué)生觀察、分析等比數(shù)列的前n項(xiàng)中各項(xiàng)的特點(diǎn)，進(jìn)而探索解決問(wèn)題的方法。
第三步，學(xué)生在公式的推導(dǎo)中，特別是對(duì)公比q的討論。
學(xué)生解決問(wèn)題前要“設(shè)想”----解決過(guò)程中要“聯(lián)想”(解決的方法)----解決后要“回想”(即反思)的良好思維過(guò)程。
2.例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)
整節(jié)課是“啟發(fā)、練習(xí)、探索”，邊啟發(fā)、邊練習(xí)、邊思考、邊討論。以學(xué)生活動(dòng)為中心，設(shè)計(jì)例題由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，融數(shù)學(xué)文化為一體，使數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)問(wèn)題交相輝映、珠聯(lián)璧合。例1“求等比數(shù)列
(1)前9項(xiàng)的和;(2)從第4項(xiàng)到第6項(xiàng)的和;(3)前9項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和”是鞏固等比數(shù)列n項(xiàng)和公式，在(1)問(wèn)中設(shè)計(jì)了公比為負(fù)的障礙，在(2)問(wèn)探討求和的不同方法，(3)問(wèn)探討奇數(shù)項(xiàng)是公比為q2的等比數(shù)列，進(jìn)而訓(xùn)練學(xué)生的思維。例2是培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想。例3給出一個(gè)錯(cuò)誤的解答，培養(yǎng)學(xué)生批判性思維。例4“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,燈光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，此塔共燈二五四,請(qǐng)問(wèn)塔尖幾盞燈?”由七言詩(shī)提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
3.最后設(shè)計(jì)探究問(wèn)題
在課堂最后設(shè)計(jì)了兩個(gè)探究性問(wèn)題：
�、偾蠛停�;②.你能用等比數(shù)列的定義與等比定理推導(dǎo)Sn嗎?警示學(xué)生等比數(shù)列中的三個(gè)“暗礁”。既鍛煉了學(xué)生全面考慮問(wèn)題的習(xí)慣，又培養(yǎng)了學(xué)生探索問(wèn)題的能力。
六、教學(xué)過(guò)程
(一)創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題：
師：若，(q為常數(shù)，)，{an}是等比數(shù)列嗎?學(xué)生回答。
(師：著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)過(guò)“一個(gè)問(wèn)題解決了，一個(gè)新的問(wèn)題又產(chǎn)生了”，請(qǐng)同學(xué)們看屏幕上國(guó)王賞麥的故事)
“國(guó)王賞麥的故事”
印度國(guó)王西拉謨與國(guó)際象棋發(fā)明家的故事，國(guó)王要獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者,問(wèn)他有什么要求,發(fā)明者說(shuō):“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒,在第2個(gè)格子里放上2顆麥粒,在第3個(gè)格子里放上4顆麥粒,在第4個(gè)格子里放上8顆麥粒,依此類推,每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒的2倍,直到第64個(gè)格子,請(qǐng)給我足夠的糧食來(lái)實(shí)現(xiàn)上述要求”.國(guó)王覺(jué)得這并不是很難辦到的,就欣然同意了他的要求.
提問(wèn)：
1.你認(rèn)為身為一國(guó)之君的國(guó)王能拿出這么多麥粒嗎?
2.你想知道計(jì)算麥粒的總數(shù)的`方法嗎?
由于每個(gè)格子里的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里的麥粒數(shù)的2倍,且共有64個(gè)格子,各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次是1，2，22，23，24……263于是發(fā)明者要求的麥�？倲�(shù)就是1+2+22+23+24……+263=?
(板書課題:等比數(shù)列前n項(xiàng)和)
(二)公式的推導(dǎo)：
回答問(wèn)題：麥粒數(shù)為1+2+22+23+24……+263=18446744073709551615約為7000億噸!!
設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生自己觀察、分析、探索培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力。使學(xué)生親自參與、自己動(dòng)手和洞察問(wèn)題。
(三)公式應(yīng)用：
設(shè)計(jì)意圖：1.公式的應(yīng)用;2.思維的訓(xùn)練;3.方法的討論
例2、已知{an}為等比數(shù)列，且a3=3,S3=3，求a1q.
分析及討論：當(dāng)q=1時(shí)，a1=a2=a3=3與S3=3矛盾
2.數(shù)學(xué)思想和方法：
�、馘e(cuò)項(xiàng)相減;②分類討論;③方程的思想。
(六)思考與研究：
1.求和：Sm=a+2a2+3a3+L+nan學(xué)生練習(xí)、討論)
2.你能用等比數(shù)列的定義與等比定理推導(dǎo)Sn嗎?(學(xué)生自己探索)
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題的能力和創(chuàng)新精神。
(七)作業(yè)：課本P143練習(xí)
師：“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，希望同學(xué)們加強(qiáng)訓(xùn)練。然而引起了學(xué)生的共鳴，大家一起面帶微笑的背誦
七、板書設(shè)計(jì)
八、教學(xué)反思
“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(一)”是高中教材中較難的一節(jié)課，筆者依據(jù)新課程的理念，“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為主攻”的教學(xué)思想。對(duì)這節(jié)課的教學(xué)作了一點(diǎn)嘗試。在教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生精神飽滿、興趣濃厚、合作積極，與我保持的良好的互動(dòng)，收到了較好的效果。
1.設(shè)計(jì)及其反思的改進(jìn)
由“國(guó)王賞麥”的故事提出問(wèn)題、引出課題，引導(dǎo)學(xué)生探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和，在引導(dǎo)學(xué)生探究等比數(shù)列和的計(jì)算方法，使學(xué)生觀察、分析、類比、聯(lián)想，如何解決問(wèn)題。有意識(shí)的使學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中，沒(méi)有考慮到公比的q=1和q≠1情形。從而突破了公比的q=1和q≠1難點(diǎn)，學(xué)生在推導(dǎo)公式中通過(guò)自己探究解決了“錯(cuò)項(xiàng)相減”的重要數(shù)學(xué)思想。對(duì)問(wèn)題的探索用等比數(shù)列的定義與等比定理推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與“錯(cuò)項(xiàng)相減”的數(shù)學(xué)思想有同工異曲之妙。高中新課程正強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)。教師應(yīng)把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教學(xué)形態(tài)。
2.新課程理念
(1)以學(xué)生為主體
愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“單純的專業(yè)知識(shí)灌輸只能產(chǎn)生機(jī)器，而不可能造就一個(gè)和諧發(fā)展的人才”，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思考，離開(kāi)思考就沒(méi)有真正的數(shù)學(xué)。這節(jié)課，教師創(chuàng)設(shè)了一系列的問(wèn)題情景，邊展示，邊提問(wèn)，讓學(xué)生邊觀察，邊思考，邊討論。鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，包括思維參與和行為參與，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題的解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過(guò)程。在教學(xué)難點(diǎn)處適當(dāng)放慢節(jié)奏，給學(xué)生充分的時(shí)間進(jìn)行思考與討論，讓學(xué)生做課堂的主人，充分發(fā)表自己的意見(jiàn)。激勵(lì)的語(yǔ)言、輕松愉悅的氛圍、民主的教學(xué)方式，不僅使學(xué)生品嘗到類比成功的歡愉，而且也使其受到美的韻味的熏陶。
(2)巧設(shè)情景，倡導(dǎo)自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式
學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下，不斷經(jīng)歷只管感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程，體驗(yàn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的“在創(chuàng)造”過(guò)程，讓學(xué)生在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)中掌握知識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力。
蘇霍姆林說(shuō)過(guò)：“在人的內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者和探索者�！北竟�(jié)課正是抓住學(xué)生的這一心理需求，從新課引入到課后作業(yè)，創(chuàng)設(shè)了一系列“數(shù)學(xué)探究”活動(dòng)，為學(xué)生開(kāi)展積極主動(dòng)的、多樣的學(xué)習(xí)方式，創(chuàng)設(shè)有利條件，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考，積極探索的習(xí)慣。
(3)滲透數(shù)學(xué)文化和情感教育
高中數(shù)學(xué)課程提倡體數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值，開(kāi)闊視野，探究數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡，提高文化素養(yǎng)，養(yǎng)成求實(shí)、說(shuō)理、批判、質(zhì)疑等理性的習(xí)慣和鍥而不舍的追求真理精神。這節(jié)課使用中外數(shù)學(xué)文化熏陶學(xué)生心靈，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，營(yíng)造熱愛(ài)數(shù)學(xué)的氛圍，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心。
(4)激勵(lì)評(píng)價(jià)
馬斯洛特別指出：“自尊需要的滿足使人產(chǎn)生一種自信的感情，覺(jué)得自己在這個(gè)世界上有價(jià)值、有實(shí)力、有能力、有用處，而這一需要一旦受挫就會(huì)使人產(chǎn)生一種自卑、軟弱、無(wú)能之感覺(jué)”。因此，當(dāng)學(xué)生獲得成功時(shí)應(yīng)及時(shí)給予評(píng)價(jià)表?yè)P(yáng)，并讓其他學(xué)生一道分享成功的歡樂(lè);當(dāng)學(xué)生遇到困難或失敗信心不足時(shí)，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行勉勵(lì)，注意從失敗中挖掘部分成功，并繼續(xù)幫助學(xué)生從失敗中走向成功，以保護(hù)學(xué)生的自尊心。
等比數(shù)列教案5
教學(xué)目標(biāo)
1.理解的概念，掌握的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
（1）正確理解的定義，了解公比的概念，明確一個(gè)數(shù)列是的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是，了解等比中項(xiàng)的概念；
�。�2）正確認(rèn)識(shí)使用的表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)及指定的項(xiàng)；
�。�3）通過(guò)通項(xiàng)公式認(rèn)識(shí)的性質(zhì)，能解決某些實(shí)際問(wèn)題。
2.通過(guò)對(duì)的研究，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì)。
3.通過(guò)對(duì)概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。
教學(xué)建議
教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
是另一個(gè)簡(jiǎn)單常見(jiàn)的數(shù)列，研究?jī)?nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究圖像，又給出等比中項(xiàng)的概念，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用。
�。�2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
教學(xué)重點(diǎn)是的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)在于通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用。
�、倥c等差數(shù)列一樣，也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項(xiàng)公式得出的特性，這些是教學(xué)的重點(diǎn)。
�、陔m然在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中曾接觸過(guò)不完全歸納法，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然不熟悉；在推導(dǎo)過(guò)程中，需要學(xué)生有一定的觀察分析猜想能力；第一項(xiàng)是否成立又須補(bǔ)充說(shuō)明，所以通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是難點(diǎn)。
③對(duì)等差數(shù)列、的綜合研究離不開(kāi)通項(xiàng)公式，因而通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)。
教學(xué)建議
�。�1）建議本節(jié)課分兩課時(shí)，一節(jié)課為的概念，一節(jié)課為通項(xiàng)公式的.應(yīng)用。
�。�2）概念的引入，可給出幾個(gè)具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到的定義。也可將幾個(gè)等差數(shù)列和幾個(gè)混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類，有一種是按等差、等比來(lái)分的，由此對(duì)比地概括的定義。
�。�3）根據(jù)定義讓學(xué)生分析的公比不為0，以及每一項(xiàng)均不為0的特性，加深對(duì)概念的理解。
�。�4）對(duì)比等差數(shù)列的表示法，由學(xué)生歸納的各種表示法。啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象。
�。�5）由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn)。
（6）可讓學(xué)生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
課題：的概念
教學(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)教學(xué)使學(xué)生理解的概念，推導(dǎo)并掌握通項(xiàng)公式。
2.使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類比、歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力。
3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，實(shí)事求是的精神，及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。
教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)
重點(diǎn)、難點(diǎn)是的定義的歸納及通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。
教學(xué)用具
投影儀，多媒體軟件，電腦。
教學(xué)方法
討論、談話法。
教學(xué)過(guò)程
一、提出問(wèn)題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說(shuō)出分類標(biāo)準(zhǔn)。（幻燈片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
�、�8，16，32，64，128，256，…
�、�1，1，1，1，1，1，1，…
�、�243，81，27，9，3，1，…
�、�31，29，27，25，23，21，19，…
�、�1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
�、�0，0，0，0，0，0，0，…
由學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)（可能按項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類），統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列（學(xué)生看不出③的情況也無(wú)妨，得出定義后再考察③是否為）.
二、講解新課
請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實(shí)際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問(wèn)題。假設(shè)每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間每個(gè)變形蟲都分裂為兩個(gè)變形蟲，再假設(shè)開(kāi)始有一個(gè)變形蟲，經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間它分裂為兩個(gè)變形蟲，經(jīng)過(guò)兩個(gè)單位時(shí)間就有了四個(gè)變形蟲，…，一直進(jìn)行下去，記錄下每個(gè)單位時(shí)間的變形蟲個(gè)數(shù)得到了一列數(shù)這個(gè)數(shù)列也具有前面的幾個(gè)數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列——.（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）
�。ò鍟�
1.的定義（板書）
根據(jù)與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給下定義。學(xué)生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下，有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學(xué)生概括出來(lái)的。教師寫出的定義，標(biāo)注出重點(diǎn)詞語(yǔ)。
請(qǐng)學(xué)生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無(wú)數(shù)列既是等差數(shù)列又是。學(xué)生通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列，教師再追問(wèn)，還有沒(méi)有其他的例子，讓學(xué)生再舉兩例。而后請(qǐng)學(xué)生概括這類數(shù)列的一般形式，學(xué)生可能說(shuō)形如的數(shù)列都滿足既是等差又是，讓學(xué)生討論后得出結(jié)論：當(dāng)時(shí)，數(shù)列既是等差又是，當(dāng)時(shí)，它只是等差數(shù)列，而不是。教師追問(wèn)理由，引出對(duì)的認(rèn)識(shí)：
2.對(duì)定義的認(rèn)識(shí)（板書）
�。�1）的首項(xiàng)不為0；
�。�2）的每一項(xiàng)都不為0，即；
問(wèn)題：一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)均不為0是這個(gè)數(shù)列為的什么條件？
（3）公比不為0
用數(shù)學(xué)式子表示的定義。
是①.在這個(gè)式子的寫法上可能會(huì)有一些爭(zhēng)議，如寫成，可讓學(xué)生研究行不行，好不好；接下來(lái)再問(wèn)，能否改寫為是？為什么不能？
式子給出了數(shù)列第項(xiàng)與第項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個(gè)？（不能）確定一個(gè)需要幾個(gè)條件？當(dāng)給定了首項(xiàng)及公比后，如何求任意一項(xiàng)的值？所以要研究通項(xiàng)公式。
3.的通項(xiàng)公式（板書）
問(wèn)題：用和表示第項(xiàng)
①不完全歸納法
�、诏B乘法，…，這個(gè)式子相乘得，所以
�。ò鍟�1）的通項(xiàng)公式
得出通項(xiàng)公式后，讓學(xué)生思考如何認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式。
�。ò鍟�2）對(duì)公式的認(rèn)識(shí)
由學(xué)生來(lái)說(shuō)，最后歸結(jié)：
①函數(shù)觀點(diǎn)；
�、诜匠趟枷耄ㄒ蛟诘炔顢�(shù)列中已有認(rèn)識(shí)，此處再?gòu)?fù)習(xí)鞏固而已）.
這里強(qiáng)調(diào)方程思想解決問(wèn)題。方程中有四個(gè)量，知三求一，這是公式最簡(jiǎn)單的應(yīng)用，請(qǐng)學(xué)生舉例（應(yīng)能編出四類問(wèn)題）.解題格式是什么？（不僅要會(huì)解題，還要注意規(guī)范表述的訓(xùn)練）
如果增加一個(gè)條件，就多知道了一個(gè)量，這是公式的更高層次的應(yīng)用，下節(jié)課再研究。同學(xué)可以試著編幾道題。
三、小結(jié)
1.本節(jié)課研究了的概念，得到了通項(xiàng)公式；
2.注意在研究?jī)?nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比；
3.用方程的思想認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，并加以應(yīng)用。
四、作業(yè)（略）
五、板書設(shè)計(jì)
1.的定義
2.對(duì)定義的認(rèn)識(shí)
3.的通項(xiàng)公式
（1）公式
�。�2）對(duì)公式的認(rèn)識(shí)
探究活動(dòng)
將一張很大的薄紙對(duì)折，對(duì)折30次后（如果可能的話）有多厚？不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米。
參考答案：
30次后，厚度為，這個(gè)厚度超過(guò)了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度。如果紙?jiān)俦∫恍热缂埡?.001毫米，對(duì)折34次就超過(guò)珠穆朗瑪峰的高度了。還記得國(guó)王的承諾嗎？第31個(gè)格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了，后邊的格子中的米就更多了，最后一個(gè)格子中的米應(yīng)是粒，用計(jì)算器算一下吧（用對(duì)數(shù)算也行）.
等比數(shù)列教案6
教學(xué)內(nèi)容：
人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)第107～108頁(yè)例2及相關(guān)練習(xí)。
教學(xué)目標(biāo)：
1.在學(xué)習(xí)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)利用圖形來(lái)解決一些有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。
2.讓學(xué)生經(jīng)歷猜想與驗(yàn)證的過(guò)程，體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學(xué)思想。
重點(diǎn)難點(diǎn)：
探索數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，并利用圖形來(lái)解決有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。
教學(xué)準(zhǔn)備：
教學(xué)課件。
教學(xué)過(guò)程：
一、直接導(dǎo)入，揭示課題
同學(xué)們，在上一堂課中，我們一起探討了圖形中隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律，并且發(fā)現(xiàn)了一些有關(guān)數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。今天我們將繼續(xù)深入研究這個(gè)有趣的課題，探究數(shù)學(xué)和圖形之間更多的奧秘。（板書課題：數(shù)與形）。
【設(shè)計(jì)意圖】直奔主題，簡(jiǎn)潔明了，有利于學(xué)生清楚本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方向。
二、探索發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)新知
�。ㄒ唬┙處熍c學(xué)生比賽算題
1.教師：你知道等于多少嗎？（學(xué)生：）
教師：那等于多少呢？（學(xué)生計(jì)算需要時(shí)間）教師緊接著說(shuō)：我已經(jīng)算好了，是，不信你算算。
2.只要按照這個(gè)分子是1，分母依次擴(kuò)大2倍的規(guī)律寫下去，不論有多少個(gè)分?jǐn)?shù)相加，我都能立即算出結(jié)果。有人對(duì)此表示懷疑嗎？那么我們來(lái)試一試就知道了。為了方便起見(jiàn)，我邀請(qǐng)了班級(jí)中最擅長(zhǎng)計(jì)算的同學(xué)與我一同進(jìn)行計(jì)算，看看我們的結(jié)果是否相同。誰(shuí)來(lái)出個(gè)題目呢？
在學(xué)生出題后，老師都能立刻算出結(jié)果，并且是正確的，學(xué)生感到很驚奇。
3.知道我為什么算得那么快嗎？因?yàn)槲矣幸患衩氐姆▽�，你們也想知道嗎�?/p>
【設(shè)計(jì)意圖】一方面，教師通過(guò)與學(xué)生比賽計(jì)算速度，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。每次老師勝利都能引發(fā)學(xué)生的興趣，并通過(guò)幽默的語(yǔ)言吸引他們的注意力。另一方面，這個(gè)活動(dòng)為接下來(lái)學(xué)習(xí)例題做好了鋪墊。為了更好地達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，我們要對(duì)上述內(nèi)容進(jìn)行修改，使其具備原創(chuàng)性。
�。ǘ┙柚叫翁骄坑�(jì)算方法
1.這個(gè)神奇的寶物就在師邊說(shuō)話的同時(shí)，展示了一個(gè)正方形�，F(xiàn)在讓我們來(lái)對(duì)它進(jìn)行一些變化，相信聰明的同學(xué)們一定能夠理解其中的奧秘。
2.進(jìn)行演示講解。
�。�1）演示：用一個(gè)正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。
想一想：正方形中涂色部分與空白部分以及整個(gè)正方形之間存在如下關(guān)系：涂色部分等于整個(gè)正方形減去空白部分的面積�？瞻撞糠终颊麄�(gè)正方形的面積比例為1減去涂色部分的比例。因此，涂色部分也可以通過(guò)整個(gè)正方形的面積乘以1減去空白部分所占比例來(lái)計(jì)算。
�。�2）繼續(xù)演示，誰(shuí)知道除了通分，還可以怎么算？
根據(jù)學(xué)生回答，板書。
�。�3）演示：那么計(jì)算就可以得到？。
3.看到這兒，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？
4.總結(jié)：根據(jù)這個(gè)規(guī)律，無(wú)論要加到幾分之一，只需要將1減去這個(gè)幾分之一即可得到答案。
5.這個(gè)法寶怎么樣？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)它好在哪里？你學(xué)會(huì)了嗎？
6.嘗試練習(xí)
【設(shè)計(jì)目的】通過(guò)將復(fù)雜的數(shù)量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形面積計(jì)算，旨在幫助學(xué)生從繁瑣中找到簡(jiǎn)潔，從困難中找到易解，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系，培養(yǎng)他們數(shù)學(xué)思維和歸納推理能力。
�。ㄈ┲R(shí)提升，探索發(fā)現(xiàn)
1.感受極限。
�。�1）剛才我們已經(jīng)從一直加到了，如果我繼續(xù)加，加到，得數(shù)等于？再接著加，一直加到，得數(shù)等于？隨著不斷繼續(xù)加，你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來(lái)越？（大）無(wú)數(shù)個(gè)這樣的數(shù)相加，和會(huì)是多少呢？
�。�2）這時(shí)候你心中有沒(méi)有一個(gè)大膽的猜想？（學(xué)生猜想：這樣一直加下去，得數(shù)會(huì)不會(huì)就等于1了。）
�。�3）想象一下，如果我們?cè)趧偛诺倪^(guò)程中不斷在正方形上涂色，那么空白部分的面積將會(huì)越來(lái)越小，而涂色部分的面積將會(huì)越來(lái)越接近整個(gè)正方形的面積。也就是說(shuō)，求和得到的結(jié)果將會(huì)越來(lái)越接近1。但最終得數(shù)是否等于1呢？我們可以通過(guò)一種方法來(lái)證明。假設(shè)我們將正方形分成無(wú)限多個(gè)相等的子正方形，每個(gè)子正方形的邊長(zhǎng)為1/n，其中n為正整數(shù)。我們可以看出，當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，子正方形的面積趨近于0�，F(xiàn)在我們來(lái)計(jì)算每個(gè)子正方形涂色的面積。首先，我們知道正方形的面積是1。由于我們不斷涂色，每個(gè)子正方形涂色的面積可以表示為1/n×1/n=1/n^2。因此，我們可以得到所有子正方形涂色的面積之和為1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2。根據(jù)數(shù)學(xué)原理，當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，級(jí)數(shù)1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2收斂于一個(gè)特定的值，即Σ(1/n^2)。這個(gè)值被稱為無(wú)窮級(jí)數(shù)的極限，它約等于1.64493。因此，我們可以得出結(jié)論，即使我們?cè)谡叫紊线M(jìn)行不斷涂色，最終的得數(shù)并不等于1，而是接近于1.64493。這可以通過(guò)數(shù)學(xué)證明來(lái)支持我們的觀點(diǎn)。
（學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生提出書本的圓形圖和線段圖，若沒(méi)有學(xué)生提出，教師自己提出。）
2.利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。
�。�1）書本上有兩幅圖，我們一起來(lái)看看（課件出示）。一幅是描繪著一個(gè)圓形的圖像，另一幅是展示著線段的圖像。你能夠理解這些圖像所表達(dá)的`含義嗎？請(qǐng)你思考一下，并將你的想法告訴大家。請(qǐng)回答你自己對(duì)這兩幅圖像的理解和含義。
（2）學(xué)生看書思考。
�。�3）全班交流，課件演示，得出結(jié)論：這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)結(jié)合數(shù)學(xué)與幾何，讓學(xué)生直觀地體會(huì)極限的數(shù)學(xué)思想，并引導(dǎo)他們從猜想得到數(shù)值“1”的過(guò)程中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明。這樣的設(shè)計(jì)旨在激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)他們追求新知識(shí)的精神。
3.課堂小結(jié)。
對(duì)于這種借用圖形來(lái)幫助我們解決問(wèn)題的方法，你有什么感受？
教師小結(jié)：
當(dāng)涉及到“數(shù)”和“形”的問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間存在著密切的聯(lián)系，并且在特定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)和幾何的結(jié)合方法來(lái)解決問(wèn)題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多原本困難的難題變得簡(jiǎn)單起來(lái)。
4.舉一反三。
在我們的學(xué)習(xí)過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)方法，可以幫助我們更好地解題。以下是一些例子：
1.一年級(jí)的加法練習(xí)：在教學(xué)一年級(jí)的加法時(shí)，教師可以使用圖形來(lái)輔助學(xué)生理解和計(jì)算。例如，可以用水果圖形來(lái)表示兩個(gè)數(shù)的相加，讓學(xué)生將相應(yīng)數(shù)量的水果圖形放在一起，然后數(shù)出總數(shù)。
2.分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)：在教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，教師可以使用圖形來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的概念。例如，可以使用矩形或圓形的圖形，將其劃分成不同的部分，并讓學(xué)生用圖形表示一個(gè)分?jǐn)?shù)。這樣，學(xué)生就可以直觀地看到分?jǐn)?shù)的大小和意義。
3.復(fù)雜的路程問(wèn)題：在解決復(fù)雜的路程問(wèn)題時(shí)，可以使用圖形來(lái)幫助我們可視化和理解問(wèn)題。例如，可以使用地圖來(lái)表示不同的位置和路徑，讓學(xué)生根據(jù)地圖上的信息解決問(wèn)題。這樣，學(xué)生就可以更清楚地看到不同位置之間的距離和方向關(guān)系。通過(guò)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，我們可以將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體有形的圖形，在解題過(guò)程中更容易理解和應(yīng)用。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法。
三、練習(xí)鞏固
1.基礎(chǔ)練習(xí)。
�。�1）學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。
�。�2）全班交流反饋。
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)，回顧新知，鞏固新知，使學(xué)生對(duì)新知識(shí)掌握得更扎實(shí)。
小敏、小楊、小華、小宇和小志5人進(jìn)行象棋比賽，每2人之間都要下一盤。小敏已經(jīng)下了4盤，小楊下了3盤，小華下了2盤，小宇下了1盤。請(qǐng)問(wèn)：小志一共下了幾盤？分別和誰(shuí)下的？小志一共下了4盤，分別是與小敏、小楊、小華和小宇下的。
解決問(wèn)題
�。�1）全班讀題，學(xué)生獨(dú)立思考。
�。�2）指名回答。
�。�3）根據(jù)學(xué)生回答情況，連線（課件演示）。
�。�4）結(jié)合連線圖得出：小剛一共下了2盤，分別和小林、小強(qiáng)下的。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的直觀性和變難為易的特點(diǎn)。
四、課堂總結(jié)
快下課了，請(qǐng)你來(lái)說(shuō)說(shuō)這節(jié)課有什么收獲？
課后反思：
圖形的直觀形象的特點(diǎn)，決定了化數(shù)為形往往能達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的目的，例2中，用舉例的方法求出等比數(shù)列的有限和，都不能證明無(wú)限多項(xiàng)相加結(jié)果為1，但是接近1，但這個(gè)無(wú)限接近于1的數(shù)是多少呢？電子白板呈現(xiàn)出圓形模型和線段模型來(lái)表示“1”，使學(xué)生結(jié)合分?jǐn)?shù)意義，在圓上和線段上分別有規(guī)律地表示這些加數(shù)，當(dāng)這個(gè)過(guò)程無(wú)止境地持續(xù)下去時(shí)，所有的扇形和線段就會(huì)把整個(gè)圓和整條線段占滿，即和為“1”，用畫圖的方法來(lái)表示計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，讓學(xué)生感受到什么叫無(wú)限接近，什么叫直觀形象，同時(shí)，一個(gè)極其抽象的極限問(wèn)題，變得十分直觀和便捷。
等比數(shù)列教案7
教學(xué)目標(biāo)
1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
(1)正確理解等比數(shù)列的定義，了解公比的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，了解等比中項(xiàng)的概念;
(2)正確認(rèn)識(shí)使用等比數(shù)列的表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)及指定的項(xiàng);
(3)通過(guò)通項(xiàng)公式認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)，能解決某些實(shí)際問(wèn)題.
2.通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的研究，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì).
3.通過(guò)對(duì)等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.
教學(xué)建議
教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
等比數(shù)列是另一個(gè)簡(jiǎn)單常見(jiàn)的數(shù)列，研究?jī)?nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究圖像，又給出等比中項(xiàng)的概念，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
教學(xué)重點(diǎn)是等比數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)在于等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.
�、倥c等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項(xiàng)公式得出等比數(shù)列的特性，這些是教學(xué)的'重點(diǎn).
�、陔m然在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中曾接觸過(guò)不完全歸納法，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然不熟悉;在推導(dǎo)過(guò)程中，需要學(xué)生有一定的觀察分析猜想能力;第一項(xiàng)是否成立又須補(bǔ)充說(shuō)明，所以通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是難點(diǎn).
�、蹖�(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合研究離不開(kāi)通項(xiàng)公式，因而通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).
教學(xué)建議
(1)建議本節(jié)課分兩課時(shí)，一節(jié)課為等比數(shù)列的概念，一節(jié)課為等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
(2)等比數(shù)列概念的引入，可給出幾個(gè)具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義.也可將幾個(gè)等差數(shù)列和幾個(gè)等比數(shù)列混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類，有一種是按等差、等比來(lái)分的，由此對(duì)比地概括等比數(shù)列的定義.
(3)根據(jù)定義讓學(xué)生分析等比數(shù)列的公比不為0，以及每一項(xiàng)均不為0的特性，加深對(duì)概念的理解.
(4)對(duì)比等差數(shù)列的表示法，由學(xué)生歸納等比數(shù)列的各種表示法. 啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象.
(5)由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn).
(6)可讓學(xué)生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
課題：等比數(shù)列的概念
教學(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)教學(xué)使學(xué)生理解等比數(shù)列的概念，推導(dǎo)并掌握通項(xiàng)公式.
2.使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類比、歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力.
3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，實(shí)事求是的精神，及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.
教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)
重點(diǎn)、難點(diǎn)是等比數(shù)列的定義的歸納及通項(xiàng)公式的推導(dǎo).
教學(xué)用具
投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學(xué)方法
討論、談話法.
教學(xué)過(guò)程
一、提出問(wèn)題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說(shuō)出分類標(biāo)準(zhǔn).(幻燈片)
�、�-2，1，4，7，10，13，16，19，
�、�8，16，32，64，128，256，
�、�1，1，1，1，1，1，1，
�、�
-
243，81，27，9，3，1，
，
，
�、�31，29，27，25，23，21，19，
�、�1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，
⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，
�、�0，0，0，0，0，0，0，
由學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)(可能按項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類)，統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列(學(xué)生看不出③的情況也無(wú)妨，得出定義后再考察③是否為等比數(shù)列).
二、講解新課 請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實(shí)際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問(wèn)題假設(shè)每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間每個(gè)變形蟲都分裂為兩個(gè)變形蟲，再假設(shè)開(kāi)始有一個(gè)變形蟲，經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間它分裂為兩個(gè)變形蟲，經(jīng)過(guò)兩個(gè)單位時(shí)間就有了四個(gè)變形蟲，，一直進(jìn)行下去，記錄下每個(gè)單位時(shí)間的變形蟲個(gè)數(shù)得到了一列數(shù)。
這個(gè)數(shù)列也具有前面的幾個(gè)數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列等比數(shù)列. (這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)
等比數(shù)列教案8
教學(xué)目標(biāo)1.熟練運(yùn)用等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和式以及有關(guān)性質(zhì)，分析和解決等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題。2.突出方程思想的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生選擇簡(jiǎn)捷合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算速度和運(yùn)算能力。3.用類比思想加深對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列概念和性質(zhì)的理解。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)用方程的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，從本質(zhì)上掌握公式。例題例1三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個(gè)數(shù)也可以成等比數(shù)列，又知這三個(gè)數(shù)的和為6，求這三個(gè)數(shù)。例2數(shù)列中，……，求的值。例3有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩個(gè)數(shù)之和是21，中間兩個(gè)數(shù)的和是18，求這四個(gè)數(shù)。例4已知數(shù)列的前項(xiàng)的和，求數(shù)列前項(xiàng)的和。例5是否存在等比數(shù)列，其前項(xiàng)的和組成的數(shù)列也是等比數(shù)列？例6數(shù)列是首項(xiàng)為0的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列的前三項(xiàng)依次為1，1，2，（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
�。�2）求數(shù)列的前10項(xiàng)的和。例7已知數(shù)列滿足，.
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求的表達(dá)式和的表達(dá)式。
作業(yè)：
1.已知同號(hào)，則是成等比數(shù)列的
�。╝）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件
�。╟）充要條件（d）既不充分而也不必要條件
2.如果和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中，那么等于
�。╝）（b）（c）3（d）
3.若某等比數(shù)列中，前7項(xiàng)和為48，前14項(xiàng)和為60，則前21項(xiàng)和為
(a)180(b)108(c)75(d)63
4.已知數(shù)列，對(duì)所有，其前項(xiàng)的積為，求的值，5.已知為等差數(shù)列，前10項(xiàng)的和為，前100項(xiàng)的.和為，求前110項(xiàng)的和
6.等差數(shù)列中，依次抽出這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，組成數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式。
7.已知數(shù)列，（1）求通項(xiàng)公式；
�。�2）若，求數(shù)列的最小項(xiàng)的值；
�。�3）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列前項(xiàng)的和.
8.三數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等差數(shù)列的第三個(gè)數(shù)加上32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)。
等比數(shù)列教案9
一、教材分析
1、從在教材中的地位與作用來(lái)看
《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是數(shù)列這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，從教材的編寫順序上來(lái)看，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是第三章“數(shù)列”第五節(jié)的內(nèi)容，一方面它是“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、與前面學(xué)習(xí)的函數(shù)等知識(shí)也有著密切的聯(lián)系，另一方面它又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)“數(shù)列的極限”等內(nèi)容作準(zhǔn)備。就知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上來(lái)看，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲(chǔ)蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等等，而且公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。就內(nèi)容的人文價(jià)值上來(lái)看，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)能力的良好載體。
2、從學(xué)生認(rèn)知角度來(lái)看
從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項(xiàng)和從公式的形成、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)．不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對(duì)學(xué)生的思維是一個(gè)突破，另外，對(duì)于q = 1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過(guò)程中容易出錯(cuò)。
3、學(xué)情分析
教學(xué)對(duì)象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，對(duì)問(wèn)題的分析缺乏深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性。
4、重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)、公式的特點(diǎn)和公式的運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)方法和公式的靈活運(yùn)用．
公式推導(dǎo)所使用的“錯(cuò)位相減法”是高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和方法中最常用的方法之一，它蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想，所以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。
二、目標(biāo)分析
1、知識(shí)與技能目標(biāo)：理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
2、過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生猜想、分析、綜合的思維能力，提高學(xué)生的建模意識(shí)及探究問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的能力，體會(huì)公式探求過(guò)程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)經(jīng)歷對(duì)公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對(duì)稱美、形式的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美。用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，一些所謂不可理解的事就可以給出合理的解釋，從而幫助我們用科學(xué)的態(tài)度認(rèn)識(shí)世界。
三、教學(xué)方法與教學(xué)手段
本節(jié)課屬于新授課型，主要利用計(jì)算機(jī)和實(shí)物投影等輔助教學(xué)，采用啟發(fā)探究，合作學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)等的教學(xué)模式。
四、教學(xué)過(guò)程分析
學(xué)生是認(rèn)知的主體，也是教學(xué)活動(dòng)的主體，設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程必須遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生去經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，我按照自主學(xué)習(xí)的教學(xué)模式來(lái)設(shè)計(jì)如下的教學(xué)過(guò)程，目的是在教學(xué)過(guò)程中促使學(xué)生自主學(xué)習(xí)，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和意識(shí)，形成自主學(xué)習(xí)的能力。
1．創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題
在古印度，有個(gè)名叫西薩的人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印度國(guó)王大舍罕為贊賞，對(duì)他說(shuō)：我可以滿足你的任何要求。西薩說(shuō)：請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格．國(guó)王覺(jué)得太容易了，就同意了他的要求。國(guó)王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來(lái)后，國(guó)王大吃一驚．為什么呢？大家想一下，這個(gè)國(guó)王能夠滿足宰相的要求嗎？
【教師提問(wèn)】
同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥�？倲�(shù)．帶著這樣的`問(wèn)題，學(xué)生會(huì)動(dòng)手算了起來(lái)，他們想到用計(jì)算器依次算出各項(xiàng)的值，然后再求和．這時(shí)我對(duì)他們的這種思路給予肯定．
2．學(xué)生探究，解決情境
263在肯定他們的思路后，我接著問(wèn)：1，2，2，，2是什么數(shù)列？有何特征？應(yīng)歸結(jié)為什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？
探討1：，記為（1）式，注意觀察每一項(xiàng)的特征，有何聯(lián)設(shè)s=1+2+22+23++26364系？（學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，后一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的2倍）
探討2：如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了它的后一項(xiàng)，（1）式兩邊同乘以2則2s64=2+22+23++263+264，記為（2）式．比較（1）（2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？有
【設(shè)計(jì)意圖】留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”，在教師看來(lái)這是很顯然的事，但在學(xué)生看來(lái)卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力．
解決情境問(wèn)題：經(jīng)過(guò)比較、研究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項(xiàng)，把兩
s642641式相減，相同的項(xiàng)就可以消去了，得到：。老師強(qiáng)調(diào)指出：這就是錯(cuò)位相減法，并2要求學(xué)生縱觀全過(guò)程，反思：為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設(shè)計(jì)意圖】經(jīng)過(guò)繁難的計(jì)算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡(jiǎn)潔了，讓學(xué)生在探索過(guò)程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，同時(shí)也為推導(dǎo)一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和提供了方法。
3．類比聯(lián)想，解決問(wèn)題
這時(shí)我再順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論一般化，設(shè)等比數(shù)列為an，公比為q，如何求它的前n項(xiàng)和？讓學(xué)生自主完成，然后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)。
一般等比數(shù)列前n項(xiàng)和：Sna1a2a3an1an？
即Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1？
方法1：錯(cuò)位相減法
2n2a1qn1Sna1a1qa1qa1q 23n1na1qqSna1qa1qa1qa1qa1（1qn）（1q）Sna1a1q1q這里的q能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？q=1時(shí)是什么數(shù)列？此時(shí)sn=？
na1（1qn）Sn1qna1q1
q1na1a1qn在學(xué)生推導(dǎo)完成之后，我再問(wèn)：由（1q）Sna1a1q得Sn
1q【設(shè)計(jì)意圖】在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的愉快和成就感。
4．討論交流，延伸拓展
探究等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還有其它方法嗎？我們知道，sn=a1+a1q+a1q2++a1qn—1=a1+q（a1+a1q++a1qn—2）那么我們能否利用這個(gè)關(guān)系而求出Sn呢？方法2：提取公比q Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1 a1q（a1a1qa1qn2）a1q（Sna1qn1）（1q）Sna1a1qn
根據(jù)等比數(shù)列的定義又有呢？
方法3：利用等比定理
a2a3a4an=====q，能否聯(lián)想到等比定理從而求出sna1a2a3an—13
aaa2a34nq a1a2a3an1a2a3anSa1qn（1q）Sna1anq
Saa1a2an1nn
【設(shè)計(jì)意圖】以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營(yíng)造一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)觀察、思考、討論的氛圍。以上兩種方法都可以化歸到Sna1qsn1，這其實(shí)就是關(guān)于Sn的一個(gè)遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究?jī)r(jià)值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用。領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，從特殊到一般，從模仿到創(chuàng)新，有利于學(xué)生的知識(shí)遷移和能力提高。
5．鞏固提高，深化認(rèn)識(shí)
�。�1）口答：
在公比為q的等比數(shù)列{an}中
若a12，q1，則Sn________，若a11，q1，則Sn________ 33若a1=—15，a4=96，求q及S4，若a31，S34（2）判斷是非：
1（12n）①1248（2）
�。ǎ�12n23n1（12）②12222
（）
12③若c0且c1，則
n1121，求a1及q。2cccc2462nc2[1（c2）n]1c
2（）
【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)公式的再認(rèn)識(shí)，剖析公式中的基本量及結(jié)構(gòu)特征，識(shí)記公式，并加強(qiáng)計(jì)算能力的訓(xùn)練。
6．例題講解，形成技能
例1．求和
1aaaa
1111例2．求等比數(shù)列，，，，的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和．
24816方法1：觀察、發(fā)現(xiàn)：a5a6a10S10S4．
方法2：此等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列：首項(xiàng)為a516，公比為q2，項(xiàng)數(shù)為n6．
23n1111變式1：求11，2，3，4，5的前n項(xiàng)和．248163212345變式2：求，，，，的前n項(xiàng)和．
2481632【設(shè)計(jì)意圖】采用變式教學(xué)設(shè)計(jì)題組，深化學(xué)生對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解，通過(guò)直接套用公
4式、變式運(yùn)用公式、研究公式特點(diǎn)這三個(gè)層次的問(wèn)題解決，促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成．通過(guò)以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，以此培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)．解題時(shí)，以學(xué)生分析為主，教師適時(shí)給予點(diǎn)撥。
7�？偨Y(jié)歸納，加深理解
以問(wèn)題的形式出現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再?gòu)闹R(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié)。
【設(shè)計(jì)意圖】以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。
8．課后作業(yè)，分層練習(xí)
必做：P129練習(xí)3（1）習(xí)題3。5第1題選作：思考題（1）：求和x+2x2+3x3++nxn。（2）畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形，再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個(gè)正方形，依此類推，這樣一共畫了10個(gè)正方形，求這10個(gè)正方形的面積的和。
【設(shè)計(jì)意圖】布置彈性作業(yè)以使各個(gè)層次的學(xué)生都有所發(fā)展。讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間，便于學(xué)生開(kāi)展自主學(xué)習(xí)。
五、評(píng)價(jià)分析
本節(jié)課通過(guò)三種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．錯(cuò)位相減：變加為減，等價(jià)轉(zhuǎn)化；遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；等比定理：回歸定義，自然樸實(shí)．學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會(huì)到推導(dǎo)過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性、敏銳性、廣闊性、批判性．同時(shí)通過(guò)精講一題，發(fā)散一串的變式教學(xué)，使學(xué)生既鞏固了知識(shí)，又形成了技能，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)民主和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也培養(yǎng)了學(xué)生勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質(zhì)，形成學(xué)習(xí)能力。
六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明
1．情境設(shè)置生活化。本著新課程的教學(xué)理念，考慮到高一學(xué)生的心理特點(diǎn)以及初、高中教學(xué)的銜接，讓學(xué)生學(xué)生初步了解“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”，采用故事的形式創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，意在營(yíng)造和諧、積極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的欲望。
2．問(wèn)題探究活動(dòng)化．
教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生想的時(shí)間、說(shuō)的機(jī)會(huì)以及展示思維過(guò)程的舞臺(tái)，通過(guò)他們自主學(xué)習(xí)、合作探究，展示學(xué)生解決問(wèn)題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅。通過(guò)師生之間不斷合作和交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性。
3．辨析質(zhì)疑結(jié)構(gòu)化．
在理解公式的基礎(chǔ)上，及時(shí)進(jìn)行正反兩方面的“短、平、快”填空和判斷是非練習(xí)。通過(guò)總結(jié)、辨析和反思，強(qiáng)化了公式的結(jié)構(gòu)特征，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識(shí)模塊，
5優(yōu)化知識(shí)體系。
4．鞏固提高梯度化．
例題通過(guò)公式的正用和逆用進(jìn)一步提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力；由教科書中的例題改編而成，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪�，可以提高學(xué)生的模式識(shí)別的能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性。 5．思路拓廣數(shù)學(xué)化．
從整理知識(shí)提升到強(qiáng)化方法，由課內(nèi)鞏固延伸到課外思考，變“知識(shí)本位”為“學(xué)生本位”，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為提高學(xué)生素質(zhì)的有效途徑。以生活中的實(shí)例作為思考，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)．6．作業(yè)布置彈性化．
通過(guò)布置彈性作業(yè)，為學(xué)有余力的學(xué)生提供進(jìn)一步發(fā)展的空間，有利于豐富學(xué)生的知識(shí)，拓展學(xué)生的視野，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
等比數(shù)列教案10
教學(xué)內(nèi)容：
人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)第107～108頁(yè)例2及相關(guān)練習(xí)。
教學(xué)目標(biāo)：
1．在學(xué)習(xí)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)利用圖形來(lái)解決一些有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。
2．讓學(xué)生經(jīng)歷猜想與驗(yàn)證的過(guò)程，體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學(xué)思想。
重點(diǎn)難點(diǎn)：
探索數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，并利用圖形來(lái)解決有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。
教學(xué)準(zhǔn)備：
教學(xué)課件。
教學(xué)過(guò)程：
一、直接導(dǎo)入，揭示課題
同學(xué)們，上節(jié)課我們探究了圖形中隱藏的數(shù)的規(guī)律，今天我們繼續(xù)研究有關(guān)數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。（板書課題：數(shù)與形）
【設(shè)計(jì)意圖】直奔主題，簡(jiǎn)潔明了，有利于學(xué)生清楚本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方向。
二、探索發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)新知
�。ㄒ唬┙處熍c學(xué)生比賽算題
1．教師：你知道等于多少嗎？（學(xué)生：）
教師：那等于多少呢？（學(xué)生計(jì)算需要時(shí)間）教師緊接著說(shuō)：我已經(jīng)算好了，是，不信你算算。
2．只要按照這個(gè)分子是1，分母依次擴(kuò)大2倍的規(guī)律寫下去，不管有多少個(gè)分?jǐn)?shù)相加，我都能立馬算出結(jié)果。有的同學(xué)不相信是嗎？咱們?cè)囋嚲椭�。為了方便，我�?qǐng)我們班計(jì)算最快的同學(xué)跟我一起算，看看結(jié)果是否相同。誰(shuí)來(lái)出題？
在學(xué)生出題后，老師都能立刻算出結(jié)果，并且是正確的，學(xué)生感到很驚奇。
3．知道我為什么算得那么快嗎？因?yàn)槲矣幸患衩氐姆▽�，你們也想知道嗎�?/p>
【設(shè)計(jì)意圖】一方面，教師通過(guò)與學(xué)生比賽計(jì)算速度，且每次老師勝利，使學(xué)生產(chǎn)生好奇心，再通過(guò)教師幽默的語(yǔ)言，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。另一方面，為接下來(lái)學(xué)習(xí)例題做好鋪墊。
�。ǘ┙柚叫翁骄坑�(jì)算方法
1．這件法寶就是（師邊說(shuō)邊課件出示一個(gè)正方形），讓我們來(lái)把它變一變，聰明的同學(xué)們一定能看明白是怎么回事了。
2．進(jìn)行演示講解。
（1）演示：用一個(gè)正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。
想一想：正方形中表示的涂色部分與空白部分和整個(gè)正方形之間有什么關(guān)系呢？（涂色部分等于“1”減去空白部分）空白部分占正方形的幾分之幾？（）那么涂色部分還可以怎么算呢？（），也就是說(shuō)。
�。�2）繼續(xù)演示，誰(shuí)知道除了通分，還可以怎么算？
根據(jù)學(xué)生回答，板書。
�。�3）演示：那么計(jì)算就可以得到？（）。
3．看到這兒，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？
4．小結(jié)：按照這樣的規(guī)律往下加，不管加到幾分之一，只要用1減去這個(gè)幾分之一就可以得到答案了。
5．這個(gè)法寶怎么樣？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)它好在哪里？你學(xué)會(huì)了嗎？
6．嘗試練習(xí)
【設(shè)計(jì)意圖】將復(fù)雜的數(shù)量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形面積計(jì)算，轉(zhuǎn)繁為簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)難為易，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)與圖形的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合、歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法。
�。ㄈ┲R(shí)提升，探索發(fā)現(xiàn)
1．感受極限。
�。�1）剛才我們已經(jīng)從一直加到了，如果我繼續(xù)加，加到，得數(shù)等于？（）再接著加，一直加到，得數(shù)等于？（）隨著不斷繼續(xù)加，你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來(lái)越？（大）無(wú)數(shù)個(gè)這樣的數(shù)相加，和會(huì)是多少呢？
�。�2）這時(shí)候你心中有沒(méi)有一個(gè)大膽的猜想？（學(xué)生猜想：這樣一直加下去，得數(shù)會(huì)不會(huì)就等于1了。）
�。�3）想象一下，如果我們?cè)趧偛偶拥倪^(guò)程中在正方形上不斷涂色，那空白部分的面積就越來(lái)越？（�。┒可糠值拿娣e越來(lái)越接近？（1）也就是求和的得數(shù)越來(lái)越接近？（1）最終得數(shù)是1嗎？你有什么方法來(lái)證明得數(shù)就是1？
�。▽W(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生提出書本的圓形圖和線段圖，若沒(méi)有學(xué)生提出，教師自己提出。）
2．利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。
�。�1）書本上有兩幅圖，我們一起來(lái)看看（課件出示）。一幅是圓形圖，一幅是線段圖，你能看懂它的.意思嗎？請(qǐng)你想一想，然后告訴大家你的想法。
�。�2）學(xué)生看書思考。
�。�3）全班交流，課件演示，得出結(jié)論：這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1。
【設(shè)計(jì)意圖】利用數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生直觀體會(huì)極限數(shù)學(xué)思想，并讓學(xué)生經(jīng)歷猜想得數(shù)等于“1”，到數(shù)形結(jié)合證明得數(shù)等于“1”的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神。
3．課堂小結(jié)。
對(duì)于這種借用圖形來(lái)幫助我們解決問(wèn)題的方法，你有什么感受？
教師小結(jié)：是的，“數(shù)”與“形”有著緊密的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)許多難題的解決變得很簡(jiǎn)單。
4．舉一反三。
其實(shí)在以前的學(xué)習(xí)中，我們也常用到到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法幫助我們解題，你能想到些例子嗎？（如學(xué)生有困難，教師舉例：一年級(jí)加法，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，復(fù)雜的路程問(wèn)題線段圖等。）
等比數(shù)列教案11
一、概述
教材內(nèi)容:等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用 教材難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列及通項(xiàng)公式解決一般問(wèn)題 教材重點(diǎn)：等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式
二、教學(xué)目標(biāo)分析
1. 知識(shí)目標(biāo)
1）
2） 掌握等比數(shù)列的定義 理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)
2．能力目標(biāo)
1）學(xué)會(huì)通過(guò)實(shí)例歸納概念
2）通過(guò)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)學(xué)會(huì)歸納假設(shè)
3）提高數(shù)學(xué)建模的能力
3、情感目標(biāo)：
1）充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型
2）體會(huì)數(shù)學(xué)是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活
3）數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無(wú)味的'
三、教學(xué)對(duì)象及學(xué)習(xí)需要分析
1、 教學(xué)對(duì)象分析：
1）高中生已經(jīng)有一定的學(xué)習(xí)能力，對(duì)各方面的知識(shí)有一定的基礎(chǔ)，理解能力較強(qiáng)。并掌握了函數(shù)及個(gè)別特殊函數(shù)的性質(zhì)及圖像，如指數(shù)函數(shù)。之前也剛學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，在學(xué)習(xí)這一章節(jié)時(shí)可聯(lián)系以前所學(xué)的進(jìn)行引導(dǎo)教學(xué)。
2）對(duì)歸納假設(shè)較弱，應(yīng)加強(qiáng)這方面教學(xué)
2、學(xué)習(xí)需要分析：
四. 教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)
1.課前復(fù)習(xí)
1）復(fù)習(xí)等差數(shù)列的概念及通向公式
2）復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)及其圖像和性質(zhì)
2．情景導(dǎo)入
等比數(shù)列教案12
教學(xué)目標(biāo)
1.理解的概念，掌握的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
(1)正確理解的定義，了解公比的概念，明確一個(gè)數(shù)列是的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是，了解等比中項(xiàng)的概念;
(2)正確認(rèn)識(shí)使用的表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)及指定的項(xiàng);
(3)通過(guò)通項(xiàng)公式認(rèn)識(shí)的性質(zhì)，能解決某些實(shí)際問(wèn)題.
2.通過(guò)對(duì)的研究，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì).
3.通過(guò)對(duì)概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.
教學(xué)建議
教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
是另一個(gè)簡(jiǎn)單常見(jiàn)的數(shù)列，研究?jī)?nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究圖像，又給出等比中項(xiàng)的概念，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
教學(xué)重點(diǎn)是的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)在于通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.
�、倥c等差數(shù)列一樣，也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項(xiàng)公式得出的特性，這些是教學(xué)的重點(diǎn).
�、陔m然在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中曾接觸過(guò)不完全歸納法，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然不熟悉;在推導(dǎo)過(guò)程中，需要學(xué)生有一定的觀察分析猜想能力;第一項(xiàng)是否成立又須補(bǔ)充說(shuō)明，所以通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是難點(diǎn).
�、蹖�(duì)等差數(shù)列、的綜合研究離不開(kāi)通項(xiàng)公式，因而通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).
教學(xué)建議
(1)建議本節(jié)課分兩課時(shí)，一節(jié)課為的概念，一節(jié)課為通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
(2)概念的引入，可給出幾個(gè)具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到的定義.也可將幾個(gè)等差數(shù)列和幾個(gè)混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類，有一種是按等差、等比來(lái)分的，由此對(duì)比地概括的定義.
(3)根據(jù)定義讓學(xué)生分析的公比不為0，以及每一項(xiàng)均不為0的特性，加深對(duì)概念的理解.
(4)對(duì)比等差數(shù)列的表示法，由學(xué)生歸納的各種表示法.啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象.
(5)由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn).
(6)可讓學(xué)生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
課題：的概念
教學(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)教學(xué)使學(xué)生理解的概念，推導(dǎo)并掌握通項(xiàng)公式.
2.使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類比、歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力.
3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，實(shí)事求是的精神，及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.
教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)
重點(diǎn)、難點(diǎn)是的定義的歸納及通項(xiàng)公式的推導(dǎo).
教學(xué)用具
投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學(xué)方法
討論、談話法.
教學(xué)過(guò)程
一、提出問(wèn)題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說(shuō)出分類標(biāo)準(zhǔn).(幻燈片)
�、�-2，1，4，7，10，13，16，19，…
�、�8，16，32，64，128，256，…
�、�1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1，，，…
�、�31，29，27，25，23，21，19，…
�、�1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，…
�、�1，-10，100，-1000，10000，-100000，…
�、�0，0，0，0，0，0，0，…
由學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)(可能按項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類)，統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列(學(xué)生看不出③的情況也無(wú)妨，得出定義后再考察③是否為).
二、講解新課
請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實(shí)際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問(wèn)題.假設(shè)每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間每個(gè)變形蟲都分裂為兩個(gè)變形蟲，再假設(shè)開(kāi)始有一個(gè)變形蟲，經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間它分裂為兩個(gè)變形蟲，經(jīng)過(guò)兩個(gè)單位時(shí)間就有了四個(gè)變形蟲，…，一直進(jìn)行下去，記錄下每個(gè)單位時(shí)間的變形蟲個(gè)數(shù)得到了一列數(shù)這個(gè)數(shù)列也具有前面的幾個(gè)數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列——. (這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)
(板書)
1.的定義(板書)
根據(jù)與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系，嘗試給下定義.學(xué)生一般回答可能不夠完美，多數(shù)情況下，有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學(xué)生概括出來(lái)的教師寫出的定義，標(biāo)注出重點(diǎn)詞語(yǔ).
請(qǐng)學(xué)生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無(wú)數(shù)列既是等差數(shù)列又是.學(xué)生通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列，教師再追問(wèn)，還有沒(méi)有其他的例子，讓學(xué)生再舉兩例.而后請(qǐng)學(xué)生概括這類數(shù)列的一般形式，學(xué)生可能說(shuō)形如的數(shù)列都滿足既是等差又是，讓學(xué)生討論后得出結(jié)論：當(dāng)時(shí)，數(shù)列既是等差又是，當(dāng)時(shí)，它只是等差數(shù)列，而不是.教師追問(wèn)理由，引出對(duì)的認(rèn)識(shí)：
2.對(duì)定義的認(rèn)識(shí)(板書)
(1)的首項(xiàng)不為0;
(2)的每一項(xiàng)都不為0，即;
問(wèn)題：一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)均不為0是這個(gè)數(shù)列為的什么條件?
(3)公比不為0.
用數(shù)學(xué)式子表示的定義.
是①.在這個(gè)式子的寫法上可能會(huì)有一些爭(zhēng)議，如寫成，可讓學(xué)生研究行不行，好不好;接下來(lái)再問(wèn)，能否改寫為是?為什么不能?
式子給出了數(shù)列第項(xiàng)與第項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系，但能否確定一個(gè)?(不能)確定一個(gè)需要幾個(gè)條件?當(dāng)給定了首項(xiàng)及公比后，如何求任意一項(xiàng)的值?所以要研究通項(xiàng)公式.
3.的通項(xiàng)公式(板書)
問(wèn)題：用和表示第項(xiàng).
�、俨煌耆珰w納法
�、诏B乘法，…，，這個(gè)式子相乘得，所以.
(板書)(1)的通項(xiàng)公式
得出通項(xiàng)公式后，讓學(xué)生思考如何認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式.
(板書)(2)對(duì)公式的認(rèn)識(shí)
由學(xué)生來(lái)說(shuō)，最后歸結(jié)：
�、俸瘮�(shù)觀點(diǎn);
�、诜匠趟枷�(因在等差數(shù)列中已有認(rèn)識(shí)，此處再?gòu)?fù)習(xí)鞏固而已).
這里強(qiáng)調(diào)方程思想解決問(wèn)題.方程中有四個(gè)量，知三求一，這是公式最簡(jiǎn)單的應(yīng)用，請(qǐng)學(xué)生舉例(應(yīng)能編出四類問(wèn)題).解題格式是什么?(不僅要會(huì)解題，還要注意規(guī)范表述的訓(xùn)練)
如果增加一個(gè)條件，就多知道了一個(gè)量，這是公式的更高層次的應(yīng)用，下節(jié)課再研究.同學(xué)可以試著編幾道題.
1.本節(jié)課研究了的`概念，得到了通項(xiàng)公式;
2.注意在研究?jī)?nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比;
3.用方程的思想認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，并加以應(yīng)用.
四、作業(yè)(略)
五、板書設(shè)計(jì)
1.等比數(shù)列的定義
2.對(duì)定義的認(rèn)識(shí)
3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)公式
(2)對(duì)公式的認(rèn)識(shí)
探究活動(dòng)
將一張很大的薄紙對(duì)折，對(duì)折30次后(如果可能的話)有多厚?不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米.
參考答案：
30次后，厚度為，這個(gè)厚度超過(guò)了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度.如果紙?jiān)俦∫恍�，比如紙�?.001毫米，對(duì)折34次就超過(guò)珠穆朗瑪峰的高度了.還記得國(guó)王的承諾嗎?第31個(gè)格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了，后邊的格子中的米就更多了，最后一個(gè)格子中的米應(yīng)是粒，用計(jì)算器算一下吧(用對(duì)數(shù)算也行).
等比數(shù)列教案二
1.教學(xué)任務(wù)分析
1.1學(xué)情分析
本節(jié)課的授課對(duì)象是我校學(xué)生，數(shù)學(xué)水平參差不齊，依賴性強(qiáng)，接受能力一般，靈活性不夠。因此本節(jié)課采用低起點(diǎn)，由淺到深，由易到難逐步推進(jìn)，熱情地啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在歡愉的氣氛中獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力。
1.2教材分析
1.2.1教材地位和作用
所用的教材是人教版《必修5》，教材通過(guò)日常生活中的實(shí)例，講解等比數(shù)列的概念，特別地要體現(xiàn)它是一種特殊函數(shù)，通過(guò)列表，圖像，通項(xiàng)公式來(lái)表達(dá)等比數(shù)列，把數(shù)列融于函數(shù)之中，體現(xiàn)了數(shù)列的本質(zhì)和內(nèi)涵。等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)不僅是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高中階段培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的重要載體之一，為培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
同時(shí)本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了一種常用數(shù)列，即等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，開(kāi)始學(xué)習(xí)另一種常用數(shù)列，即等比數(shù)列的相應(yīng)知識(shí)，我認(rèn)為本節(jié)教材對(duì)于進(jìn)—步滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展邏輯思維能力，提高學(xué)生的品質(zhì)素養(yǎng)均有較好作用。眾所周知，數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的考查重點(diǎn)之一，其中等差數(shù)列和等比數(shù)列尤為重要，有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，大多數(shù)都是歸結(jié)為這兩種基本數(shù)列加以解決的：而且這兩途中數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，這說(shuō)要求教學(xué)中高度重視，并有新的突破，拓展和引深。
1.2.2教學(xué)任務(wù)和目標(biāo)
教學(xué)任務(wù)分析：通過(guò)觀察、歸納、猜想、類比等思維品質(zhì)，正確理解等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列通項(xiàng)公式。以及具體的知識(shí)運(yùn)用及實(shí)際應(yīng)用。
本堂課內(nèi)容的編者按：首先注意前后知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)比和類比，展示等比數(shù)列概念的形成和和指數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)等深化過(guò)程，使得后進(jìn)生部有發(fā)言權(quán)，優(yōu)生也不乏味，從而達(dá)到面向全體的目的，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣。其次體會(huì)研究等比數(shù)列通項(xiàng)公式簡(jiǎn)單歸納方法：特殊→一般，重溫?cái)?shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)公式的思維活動(dòng)過(guò)程，沿著數(shù)學(xué)家尋求真理的足跡，再現(xiàn)與前人類似的創(chuàng)造過(guò)程。
教學(xué)目標(biāo)：
知識(shí)目標(biāo)：理解并掌握等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，并加以初步應(yīng)用。
能力目標(biāo)：通過(guò)慨念、公式和例題的教學(xué)，滲透類比思想、方程思想、函數(shù)思想以及從特殊到—般等數(shù)學(xué)思想，著重培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、概括、歸納、演繹等方面的思維能力，并進(jìn)—步培養(yǎng)運(yùn)算能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。
品質(zhì)素養(yǎng)目標(biāo)：在傳授知識(shí)培養(yǎng)能力的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探求，敢于創(chuàng)新的精神，同時(shí)幫助學(xué)生樹(shù)立克服困難的信心，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣意志品質(zhì)。
1.2.3教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念的形成與深化;等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn)是：等比數(shù)列概念深化：體現(xiàn)它是一種特殊函數(shù)，等比數(shù)列的判定、證明及初步應(yīng)用。
2.教材教法和學(xué)法分析
2.1教材的處理
鑒于學(xué)生已基本上掌握數(shù)列概念，等差數(shù)列概念及通項(xiàng)公式(有利因素)，但于由學(xué)生對(duì)教師，書本對(duì)于依賴，獨(dú)立探索的信心和能力尚顯不足(不利因素)，故應(yīng)稀釋、放大、拉長(zhǎng)等比數(shù)列概念的形成，展示深代過(guò)程和通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體現(xiàn)過(guò)程教學(xué)法。講完課本例1、例2，例3，把等比中項(xiàng)的概念安排到第二課時(shí)教學(xué)。本節(jié)著重體現(xiàn)等比數(shù)列概念形成的過(guò)程及通項(xiàng)公式的推導(dǎo)與運(yùn)用。
等比數(shù)列教案三
教學(xué)準(zhǔn)備
教學(xué)目標(biāo)
1、數(shù)學(xué)知識(shí)：掌握等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，及其有關(guān)性質(zhì);
2、數(shù)學(xué)能力：通過(guò)等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生類比歸納的能力;
歸納——猜想——證明的數(shù)學(xué)研究方法;
3、數(shù)學(xué)思想：培養(yǎng)學(xué)生分類討論，函數(shù)的數(shù)學(xué)思想。
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，如何通過(guò)類比利用等差數(shù)列學(xué)習(xí)等比數(shù)列;
難點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)的探索過(guò)程。
教學(xué)過(guò)程
教學(xué)過(guò)程：
1、問(wèn)題引入：
前面我們已經(jīng)研究了一類特殊的數(shù)列——等差數(shù)列。
問(wèn)題1：滿足什么條件的數(shù)列是等差數(shù)列?如何確定一個(gè)等差數(shù)列?
(學(xué)生口述，并投影)：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
要想確定一個(gè)等差數(shù)列，只要知道它的首項(xiàng)a1和公差d。
已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和d，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：(板書)an=a1+(n-1)d。
師：事實(shí)上，等差數(shù)列的關(guān)鍵是一個(gè)“差”字，即如果一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
(第一次類比)類似的，我們提出這樣一個(gè)問(wèn)題。
問(wèn)題2：如果一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的……等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做……數(shù)列。
(這里以填空的形式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮自己的想法，對(duì)于“和”與“積”的情況，可以利用具體的例子予以說(shuō)明：如果一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的“和”(或“積”)等于同一個(gè)常數(shù)的話，這個(gè)數(shù)列是一個(gè)各項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)的“周期數(shù)列”，而與等差數(shù)列最相似的是“比”為同一個(gè)常數(shù)的情況。而這個(gè)數(shù)列就是我們今天要研究的等比數(shù)列了。)
2、新課：
1)等比數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做公比。
師：這就牽涉到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題，回憶一下等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是怎樣得到的?類似于等差數(shù)列，要想確定一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，要知道什么?
師生共同簡(jiǎn)要回顧等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)的方法：累加法和迭代法。
公式的推導(dǎo)：(師生共同完成)
若設(shè)等比數(shù)列的公比為q和首項(xiàng)為a1，則有：
方法一：(累乘法)
3)等比數(shù)列的性質(zhì)：
下面我們一起來(lái)研究一下等比數(shù)列的性質(zhì)
通過(guò)上面的研究，我們發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列和等差數(shù)列之間似乎有著相似的地方，這為我們研究等比數(shù)列的性質(zhì)提供了一條思路：我們可以利用等差數(shù)列的性質(zhì)，通過(guò)類比得到等比數(shù)列的性質(zhì)。
問(wèn)題4：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，它有哪些性質(zhì)?
(根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況，可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體例子，尋找規(guī)律，如：
3、例題鞏固：
例1、一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)是2，第三項(xiàng)與第四項(xiàng)的和是12，求它的第八項(xiàng)的值。
答案：1458或128。
例2、正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a6·a15+a9·a12=30，則log15a1a2a3…a20=_10____.
例3、已知一個(gè)等差數(shù)列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，能否在這個(gè)數(shù)列中取出一些項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列{cn}，使得{cn}是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，若能請(qǐng)指出{cn}中的第k項(xiàng)是等差數(shù)列中的第幾項(xiàng)?
(本題為開(kāi)放題，沒(méi)有的答案，如對(duì)于{cn}：2，4，8，16，……，2n，……，則ck=2k=2×2k-1，所以{cn}中的第k項(xiàng)是等差數(shù)列中的第2k-1項(xiàng)。關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)公式的理解)
1、小結(jié)：
今天我們主要學(xué)習(xí)了有關(guān)等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、以及它的性質(zhì)，通過(guò)今天的學(xué)習(xí)
我們不僅學(xué)到了關(guān)于等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，更重要的是我們學(xué)會(huì)了由類比——猜想——證明的科學(xué)思維的過(guò)程。
2、作業(yè)：
P129：1，2，3
思考題：在等差數(shù)列：2，4，6，8，10，12，14，16，……，2n，……，中取出一些項(xiàng)：6，12，24，48，……，組成一個(gè)新的數(shù)列{cn}，{cn}是一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，請(qǐng)指出{cn}中的第k項(xiàng)是等差數(shù)列中的第幾項(xiàng)?
教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明：
1、教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)：首先作為等比數(shù)列的第一節(jié)課，對(duì)于等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其性質(zhì)是學(xué)生接下來(lái)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的基礎(chǔ)，是必須要落實(shí)的;其次，數(shù)學(xué)教學(xué)除了要傳授知識(shí)，更重要的是傳授科學(xué)的研究方法，等比數(shù)列是在等差數(shù)列之后學(xué)習(xí)的因此對(duì)等比數(shù)列的學(xué)習(xí)必然要和等差數(shù)列結(jié)合起來(lái)，通過(guò)等比數(shù)列和等差數(shù)列的類比學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生類比——猜想——證明的科學(xué)研究方法是有利的。這也就成了本節(jié)課的重點(diǎn)。
2、教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程：本節(jié)課主要從以下幾個(gè)方面展開(kāi)：
1)通過(guò)復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義，類比得出等比數(shù)列的定義;
2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo);
3)等比數(shù)列的性質(zhì);
有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式的探求思路，一方面使學(xué)生回顧舊
知識(shí)，另一方面使學(xué)生通過(guò)聯(lián)想，為類比地探索等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式奠定基礎(chǔ)。
在類比得到等比數(shù)列的定義之后，再對(duì)幾個(gè)具體的數(shù)列進(jìn)行鑒別，旨在遵循“特殊——一般——特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律，使學(xué)生體會(huì)觀察、類比、歸納等合情推理方法的應(yīng)用。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力。
在得到等比數(shù)列的定義之后，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式又是一個(gè)重點(diǎn)。這里通過(guò)問(wèn)題3的設(shè)計(jì)，使學(xué)生產(chǎn)生不得不考慮通項(xiàng)公式的心理傾向，造成學(xué)生認(rèn)知上的沖突，從而使學(xué)生主動(dòng)完成對(duì)知識(shí)的接受。
通過(guò)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的比較使學(xué)生初步體會(huì)到等差和等比的相似性，為下面類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列的性質(zhì)，做好鋪墊。
等比性質(zhì)的研究是本節(jié)課的，通過(guò)類比
關(guān)于例題設(shè)計(jì)：重知識(shí)的應(yīng)用，具有開(kāi)放性，為使學(xué)生更好的掌握本節(jié)課的內(nèi)容。
等比數(shù)列教案13
教學(xué)準(zhǔn)備
教學(xué)目標(biāo)
熟悉與數(shù)列知識(shí)相關(guān)的背景，如增長(zhǎng)率、存款利息等問(wèn)題，提高學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問(wèn)題的能力，強(qiáng)化應(yīng)用儀式。
教學(xué)重難點(diǎn)
熟悉與數(shù)列知識(shí)相關(guān)的背景，如增長(zhǎng)率、存款利息等問(wèn)題，提高學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問(wèn)題的能力，強(qiáng)化應(yīng)用儀式。
教學(xué)過(guò)程
【復(fù)習(xí)要求】熟悉與數(shù)列知識(shí)相關(guān)的背景，如增長(zhǎng)率、存款利息等問(wèn)題，提高學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問(wèn)題的能力，強(qiáng)化應(yīng)用儀式。
【方法規(guī)律】應(yīng)用數(shù)列知識(shí)界實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的綜合分析，確定其數(shù)學(xué)模型是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，并確定其首項(xiàng)，公差或公比等基本元素，然后設(shè)計(jì)合理的計(jì)算方案，即數(shù)學(xué)建模是解答數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵。
一、基礎(chǔ)訓(xùn)練
1、某種細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中，每20分鐘*一次一個(gè)*為兩個(gè)，經(jīng)過(guò)3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成
A、511B、512C、1023D、1024
2、若一工廠的生產(chǎn)總值的月平均增長(zhǎng)率為p，則年平均增長(zhǎng)率為
A、B、
C、D、
二、典型例題
例1：某人每期期初到銀行存入一定金額A，每期利率為p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，問(wèn)到第n期期末的本金和是多少？
評(píng)析：此例來(lái)自一種常見(jiàn)的存款叫做零存整取。存款的方式為每月的某日存入一定的金額，這是零存，一定時(shí)期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取。計(jì)算本利和就是本例所用的有窮等差數(shù)列求和的方法。用實(shí)際問(wèn)題列出就是：本利和=每期存入的金額[存期+1/2存期存期+1利率]
例2：某人從1999到20xx年間，每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期儲(chǔ)蓄，若每年利率q保持不變，且每年到期的存款本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是多少元？
例3、某地區(qū)位于沙漠邊緣，人與自然進(jìn)行長(zhǎng)期頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到1999年底全地區(qū)的綠化率已達(dá)到30%，從20xx年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)以下的變化：原有沙漠面積的16%將栽上樹(shù)，改造為綠洲，同時(shí)，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬�。�?wèn)經(jīng)過(guò)多少年的.努力才能使全縣的綠洲面積超過(guò)60%。lg2=0.3
例4、流行性感冒簡(jiǎn)稱流感是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病。某市去年11月分曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染著減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問(wèn)11月幾日，該市感染此病毒的新的患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)。
等比數(shù)列教案14
一. 教學(xué)內(nèi)容：等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
二、教學(xué)目標(biāo)：
綜合運(yùn)用等差、等比數(shù)列的定義式、通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)求和公式解決相關(guān)問(wèn)題.
三、要點(diǎn)：
（一）等差數(shù)列
1. 等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式1：
2. 等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式2：
3. （m， n， p， q ∈N ）
5. 對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種：
（1）利用 >0，d<0，前n項(xiàng)和有最大值，可由 ≤0，求得n的值。
當(dāng) ≤0，且 二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值。
（二）等比數(shù)列
1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
∴當(dāng) ① 或 ②
當(dāng)q=1時(shí)， 時(shí)，用公式②
2、 是等比數(shù)列 不是等比數(shù)列
②當(dāng)q≠－1或k為奇數(shù)時(shí)， 仍成等比數(shù)列
3、等比數(shù)列的性質(zhì)：若m n=p k，則
【典型例題
例1. 在等差數(shù)列{ ＋ ＋ ＋ 。
解：由等差中項(xiàng)公式： ＋ ， ＝2 ＋ ＋ ＝450， ＋ ＝180
�。剑� ＋ ＋ ）＋（ ）＋＝9 為 項(xiàng)的和。
解：（用錯(cuò)項(xiàng)相消法）
�、�-② 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，例3. 設(shè)數(shù)列 項(xiàng)之和為 ，若 ，問(wèn)：數(shù)列 ，
∴
即： ，∴ ，
∴即：
例4. 設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前 項(xiàng)之和為80，前 項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列。
解：由題意
代入（1）， ，從而
∴ 項(xiàng)中數(shù)值最大的`項(xiàng)應(yīng)為第 項(xiàng)
∴ ∴
∴
∴此數(shù)列為
例5. 求集合M={mm=2n－1，n∈N*，且m＜60＝的元素個(gè)數(shù)及這些元素的和。
，又∵n∈N*
∴滿足不等式n＜ = =900
答案：集合M中一共有30個(gè)元素，其和為900。
【模擬
1. 已知等比數(shù)列的公比是2，且前四項(xiàng)的和為1，那么前八項(xiàng)的和為 （ ）
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
2. 已知數(shù)列{an=3n－2，在數(shù)列{an}中取ak2，akn ，… 成等比數(shù)列，若k1=2，k2=6，則k4的值 （ ）
A. 86 B. 54 C. 160 D. 256
3. 數(shù)列A. 750 B. 610 C. 510 D. 505
4.<0的最小的n值是 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，
則這個(gè)數(shù)列有 （ ）
A. 13項(xiàng) B. 12項(xiàng) C. 11項(xiàng) D. 10項(xiàng)
6. 數(shù)列 并且 。則數(shù)列的第100項(xiàng)為（ ）
A. C. 7. 在等差數(shù)列{ ＝－15，公差d＝3，求數(shù)列{ 的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和。
9. 設(shè)
（1）問(wèn)數(shù)列 是否是等差數(shù)列？（2）求 ＝ ＋3d，∴ －15＝ ＋9， ＝－24，
∴ ＝－24n＋ ＝ [（n－ － 最小時(shí)， 最小，
即當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)， ＝－108最小
等比數(shù)列教案15
教學(xué)目標(biāo)
1、通過(guò)教學(xué)使學(xué)生理解等比數(shù)列的概念，推導(dǎo)并掌握通項(xiàng)公式。
2、使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類比、歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力。
3、培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，實(shí)事求是的精神，及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。
教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)
重點(diǎn)、難點(diǎn)是等比數(shù)列的定義的.歸納及通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。
教學(xué)用具
投影儀，多媒體軟件，電腦。
教學(xué)方法
討論、談話法。
教學(xué)過(guò)程
一、提出問(wèn)題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說(shuō)出分類標(biāo)準(zhǔn)。（幻燈片）
�、�-2，1，4，7，10，13，16，19，
�、�8，16，32，64，128，256，
�、�1，1，1，1，1，1，1，
④
-
243，81，27，9，3，1，
，
，
�、�31，29，27，25，23，21，19，
�、�1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，
�、�1，-10，100，-1000，10000，-100000，
⑧0，0，0，0，0，0，0，
由學(xué)生發(fā)表意見(jiàn)（可能按項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列，也可能分為等差、等比兩類），統(tǒng)一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列（學(xué)生看不出③的情況也無(wú)妨，得出定義后再考察③是否為等比數(shù)列）。
二、講解新課請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實(shí)際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問(wèn)題假設(shè)每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間每個(gè)變形蟲都分裂為兩個(gè)變形蟲，再假設(shè)開(kāi)始有一個(gè)變形蟲，經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間它分裂為兩個(gè)變形蟲，經(jīng)過(guò)兩個(gè)單位時(shí)間就有了四個(gè)變形蟲，，一直進(jìn)行下去，記錄下每個(gè)單位時(shí)間的變形蟲個(gè)數(shù)得到了一列數(shù)。
這個(gè)數(shù)列也具有前面的幾個(gè)數(shù)列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數(shù)列等比數(shù)列。（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）
判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列？若是，找出公比；不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
�。�1）1, 4, 16, 32．
�。�2）0, 2, 4, 6, 8.
（3）1,－10,100,－1000,10000．
�。�4）81, 27, 9, 3, 1.
（5）a, a, a, a, a.
講解例二，進(jìn)一步熟悉定義，根據(jù)定義求數(shù)列未知項(xiàng)。最后的小例一為了由利
用定義的求解轉(zhuǎn)到利用定義證明，二為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列隔項(xiàng)同號(hào)的規(guī)律。例題二
求出下列等比數(shù)列中的未知項(xiàng):
�。�1）2, a, 8;
�。�2）-4, b, c,？；
�。恳阎獢�(shù)列2, x, d, y,8．是等比數(shù)列
�、僮C明數(shù)列2, d, 8.仍是等比數(shù)列．
②求未知項(xiàng)d.
通過(guò)兩道例題的講解，讓學(xué)生有個(gè)緩沖，做個(gè)鞏固練習(xí)。當(dāng)然此練習(xí)的安排，
也是為了進(jìn)一步挖掘等比數(shù)列定義的本質(zhì)，辨析找尋等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系，將具體問(wèn)題再推廣到一般，并要求學(xué)生理解并掌握等比數(shù)列的判斷證明方法。
練習(xí)
判斷下列數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？
�。�1）22，2，1，2-1, 2-2 。
（2）3，34，37, 310 。
引申：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，而bn?2n
證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列。
由最后一例的證明，說(shuō)明給出通項(xiàng)公式后可由定義判斷該數(shù)列是否為等比數(shù)
列。反過(guò)來(lái)若數(shù)列已經(jīng)是等比數(shù)列了，能否由定義導(dǎo)出數(shù)列通項(xiàng)公式呢？為下節(jié)課做鋪墊。
【課堂小結(jié)】
由學(xué)生通過(guò)一堂課的學(xué)習(xí)，做個(gè)簡(jiǎn)單的歸納小結(jié)。
1理解。等比數(shù)列的定義，判斷或證明數(shù)列是否為等比數(shù)列要用定義判斷
2、等比數(shù)列公比q≠0,任意一項(xiàng)都不為零。
3、學(xué)習(xí)等比數(shù)列可以對(duì)照等差數(shù)列類比做研究。
【作業(yè)】
1、書p48. No.1,2;
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