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二倍角的三角函數(shù)教案
作為一名專為他人授業(yè)解惑的人民教師，時常會需要準備好教案，教案是備課向課堂教學轉(zhuǎn)化的關(guān)節(jié)點。優(yōu)秀的教案都具備一些什么特點呢？下面是小編為大家收集的二倍角的三角函數(shù)教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
一、教學目標
1、掌握任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義（包括定義域、正負符號判斷）；了解任意角的余切、正割、余割函數(shù)的定義。
2、經(jīng)歷從銳角三角函數(shù)定義過度到任意角三角函數(shù)定義的推廣過程，體驗三角函數(shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展過程。領(lǐng)悟直角坐標系的工具功能，豐富數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗。
3、培養(yǎng)學生通過現(xiàn)象看本質(zhì)的唯物主義認識論觀點，滲透事物相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義世界觀。
4、培養(yǎng)學生求真務(wù)實、實事求是的科學態(tài)度。
二、重點、難點、關(guān)鍵
重點：任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義、定義域、（正負）符號判斷法。
難點：把三角函數(shù)理解為以實數(shù)為自變量的函數(shù)。
關(guān)鍵：如何想到建立直角坐標系；六個比值的確定性（α確定，比值也隨之確定）與依賴性（比值隨著α的變化而變化）。
三、教學理念和方法
教學中注意用新課程理念處理傳統(tǒng)教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。
根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容、高一學生認知特點和我自己的教學風格，本節(jié)課采用“啟發(fā)探索、講練結(jié)合”的方法組織教學。
四、教學過程
執(zhí)教線索：
回想再認：函數(shù)的概念、銳角三角函數(shù)定義（銳角三角形邊角關(guān)系）——問題情境：能推廣到任意角嗎？——它山之石：建立直角坐標系（為何？）——優(yōu)化認知：用直角坐標系研究銳角三角函數(shù)——探索發(fā)展：對任意角研究六個比值（與角之間的關(guān)系：確定性、依賴性，滿足函數(shù)定義嗎？）——自主定義：任意角三角函數(shù)定義——登高望遠：三角函數(shù)的要素分析（對應(yīng)法則、定義域、值域與正負符號判定）——（例題與練習）——回顧小結(jié)——布置作業(yè)]
（一）復習引入、回想再認
開門見山，面對全體學生提問：
在初中我們初步學習了銳角三角函數(shù)，前幾節(jié)課，我們把銳角推廣到了任意角，學習了角度制和弧度制，這節(jié)課該研究什么呢？
探索任意角的三角函數(shù)（板書課題），請同學們回想，再明確一下：
�。ㄇ榫�1）什么叫函數(shù)？或者說函數(shù)是怎樣定義的？
讓學生回想后再點名回答，投影顯示規(guī)范的定義，教師根據(jù)回答情況進行修正、強調(diào)：
傳統(tǒng)定義：設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量，自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域。
現(xiàn)代定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱映射？：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：y=f（x），x∈A，其中x叫自變量，自變量x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域。
設(shè)計意圖：
函數(shù)和三角函數(shù)是一般和特殊的關(guān)系，是共性和個性的關(guān)系，學生已經(jīng)學習了函數(shù)的概念，因此對三角函數(shù)的學習就是一個從一般到特殊的演繹的過程，也是以具體函數(shù)豐富函數(shù)概念的過程。教學經(jīng)驗表明：學生對函數(shù)兩種定義的記憶是有一定困難的，容易遺忘，此處讓學生對函數(shù)概念進行回想再認，目的在于明確函數(shù)概念的本質(zhì)，為演繹學習任意角三角函數(shù)概念作好知識和認知準備。
�。ㄇ榫�2）我們在初中通過銳角三角形的邊角關(guān)系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù)。請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？
學生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進行強調(diào)：
設(shè)計意圖：
學生在初中學習了銳角的三角函數(shù)概念，現(xiàn)在學習任意角的三角函數(shù)，又是一種推廣和拓展的過程（類似于從有理數(shù)到實數(shù)的擴展）。溫故知新，要讓學生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始，對銳角三角函數(shù)的復習就必不可少。
（二）引伸鋪墊、創(chuàng)設(shè)情景
（情景3）我們已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！
留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導。
能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答。用角的對邊、臨邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于4.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù)。
設(shè)計意圖：
從學生現(xiàn)有知識水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設(shè)問題情景，讓學生產(chǎn)生認知沖突，進行必要的啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的“再創(chuàng)造”征程。
教師對學生回答情況進行點評后布置任務(wù)情景：請同學們用直角坐標系重新研究銳角三角函數(shù)定義！
師生共做（學生口述，教師板書圖形和比值）：
把銳角α安裝（如何安裝？角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合）在直角坐標系中，在角α終邊上任取一點P，作Pm⊥x軸于m，構(gòu)造一個RtΔomP，則∠moP=α（銳角），設(shè)P（x，y）（x＞0、y＞0），α的臨邊om=x、對邊mP=y，斜邊長|oP∣=r。
根據(jù)銳角三角函數(shù)定義用x、y、r列出銳角α的正弦、余弦、正切三個比值，并補充對應(yīng)列出三個倒數(shù)比值：
設(shè)計意圖：
此處做法簡單，思想重要。為了順利實現(xiàn)推廣，可以構(gòu)建中間橋梁或公共載體，使之既與初中的定義一致，又能自然地遷移到任意角的情形。由于前一節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生自然能想到仍然以直角坐標系為工具來研究任意角的三角函數(shù)。初中以直角三角形邊角關(guān)系來定義銳角三角函數(shù)，現(xiàn)在要用坐標系來研究，探索的結(jié)論既要滿足任意角的情形，又要包容初中銳角三角函數(shù)定義。這是一個認識的飛躍，是理解任意角三角函數(shù)概念的關(guān)鍵之一，也是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要思想和方法，屬于策略性知識，能夠形成遷移能力，為學生在以后學習中對某些知識進行推廣拓展奠定了基礎(chǔ)（譬如從平面向量到空間向量的擴展，從實數(shù)到復數(shù)的擴展等）。
�。ㄇ榫�4）各個比值與角之間有怎樣的關(guān)系？比值是角的函數(shù)嗎？
追問：銳角α大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？
先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：保持r不變，讓P繞原點o旋轉(zhuǎn)即α在銳角范圍內(nèi)變化，六個比值隨之變化的直觀形象。結(jié)論是：比值隨α的變化而變化。
引導學生觀察圖3，聯(lián)系相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：
對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是
確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。
得出結(jié)論（強調(diào)）：當α為銳角時，六個比值隨α的變化而變化；但對于銳角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。所以，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù)。
設(shè)計意圖：
初中學生對函數(shù)理解較膚淺，這里在學生思維的最近發(fā)展區(qū)進一步研究初中學過的銳角三角函數(shù)，在思維上更上了一個層次，扣準函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出變量之間的依賴關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，是從函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的主要依據(jù)，是準確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵，也是在認知上把三角函數(shù)知識納入函數(shù)知識結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。這樣做能夠使學生有效地增強函數(shù)觀念。
（三）分析歸納、自主定義
（情境5）能將銳角的比值情形推廣到任意角α嗎？
水到渠成，師生共同進行探索和推廣：
對于一個任意角α，它的終邊所在位置包括下列兩類共八種情形（投影展示并作分析）：
終邊分別在四個象限的情形：終邊分別在四個半軸上的情形：
（指出：不畫出角的方向，表明角具有任意性）
怎樣刻畫任意角的三角函數(shù)呢？研究它的六個比值：
�。ò鍟┰O(shè)α是一個任意角，在α終邊上除原點外任意取一點P（x，y），P與原點o之間的距離記作r（r=＞0），列出六個比值：
α=kππ/2時，x=0，比值y/x、r/x無意義；
α=kπ時，y=0，比值x/y、r/y無意義。
追問：α大小發(fā)生變化時，比值會改變嗎？
先讓學生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫板動畫演示，同時作好解釋說明：使r保持不變，P繞原點o逆時針、順時針旋轉(zhuǎn)即角α變化，六個比值隨之改變的直觀形象。結(jié)論是：各比值隨α的變化而變化。
再引導學生利用相似三角形知識，探索發(fā)現(xiàn)：對于任意角α的每一個確定值，六個比值都是確定的，不會隨P在終邊上的移動而變化。
綜上得到（強調(diào)）：當角α變化時，六個比值隨之變化；對于確定的角α，六個比值（如果存在的話）都不會隨P在角α終邊上的改變而改變，六個比值是確定的（對應(yīng)的多值性即誘導公式一留到下節(jié)課分析）。
因此，六個比值分別是以角α為自變量、以比值為函數(shù)值的函數(shù)。
根據(jù)歷史上的規(guī)定，對比值進行命名，指出英文記法和讀法，記作（承前作復合板書）：
=sinα（正弦）=cosα（余弦）=tanα（正切）
=cscα（余割）=sec（正弦）=cotα（余切）
教師強調(diào)：sinα表示sin與α的乘積嗎？不是，sinα是函數(shù)記號，是一個整體，相當于函數(shù)記號f（x）。其它幾個三角函數(shù)也如此
投影顯示圖六，指導學生分析其對應(yīng)關(guān)系，進一步體會其函數(shù)內(nèi)涵：指導學生識記六個比值及函數(shù)名稱。
教師指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，三角函數(shù)有非常豐富的知識和思想方法，我們以后主要學習正弦、余弦、正切三個函數(shù)的相關(guān)知識和方法，對于余切、正割、余割，只要同學們了解它們的定義就夠了（遵循大綱要求）。
引導學生進一步分析理解：
已知角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，對于每一個確定的實數(shù)，把它看成一個弧度數(shù)，就對應(yīng)著唯一的一個角，從而分別對應(yīng)著六個唯一的三角函數(shù)值。因此，（板書）三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，這將為以后的應(yīng)用帶來很多方便。
設(shè)計意圖：
把角的終邊分別在四個象限、四條半軸上的情形全作出來，有利于對任意性的全面把握。明確比值存在與否的條件，為確定函數(shù)定義域作準備。動畫演示比值與角之間的依賴性與確定性關(guān)系，深化理解三角函數(shù)內(nèi)涵。引導學生在理解的基礎(chǔ)上自主地對三角函數(shù)作出明確定義，是本節(jié)課的中心任務(wù)。由于學生剛學弧度制，對弧度制的理解有待于在以后的學習應(yīng)用中逐步感悟，因此部分學生對“三角函數(shù)可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)”的理解有半信半疑之感，有待通過后續(xù)的應(yīng)用加深理解。
（四）探索定義域
�。ㄇ榫�6）（1）函數(shù)概念的三要素是什么？
函數(shù)三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域。
正弦函數(shù)sinα的對應(yīng)法則是什么？
正弦函數(shù)sinα的對應(yīng)法則，實質(zhì)上就是sinα的定義：對α的每一個確定的值，有唯一確定的比值y/r與之對應(yīng)，即α→y/r=sinα。
（2）布置任務(wù)情景：什么是三角函數(shù)的定義域？請求出六個三角函數(shù)的定義域，填寫下表：
三角函數(shù)
sinα
cosα
tanα
cotα
cscα
secα
定義域
引導學生自主探索：
如果沒有特別說明，那么使解析式有意義的自變量的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的定義域自然是指：使比值有意義的角α的取值范圍。
關(guān)于sinα=y/r、cosα=x/r，對于任意角α（弧度數(shù)），r＞0，y/r、x/r恒有意義，定義域都是實數(shù)集R。
對于tanα=y/x，α=kππ/2時x=0，y/x無意義，tanα的定義域是：{α|α∈R，且α≠kππ/2}。
教師指出：sinα、cosα、tanα的定義域必須緊扣三角函數(shù)定義在理解的基礎(chǔ)上記熟，cotα、cscα、secα的定義域不要求記憶。
�。P(guān)于值域，到后面再學習）。
設(shè)計意圖：
定義域是函數(shù)三要素之一，研究函數(shù)必須明確定義域。指導學生根據(jù)定義自主探索確定三角函數(shù)定義域，有利于在理解的基礎(chǔ)上記住它、應(yīng)用它，也增進對三角函數(shù)概念的掌握。
（五）符號判斷、形象識記
�。ㄇ榫�7）能判斷三角函數(shù)值的正、負嗎？試試看！
引導學生緊緊抓住三角函數(shù)定義來分析，r＞0，三角函數(shù)值的符號決定于x、y值的正負，根據(jù)終邊所在位置總結(jié)出形象的識記口訣：
（同好得正、異號得負）
sinα=y/r：上正下負橫為0cosα=x/r：左負右正縱為0tanα=y/x：交叉正負
設(shè)計意圖：
判斷三角函數(shù)值的正負符號，是本章教材的一項重要的知識、技能要求。要引導學生抓住定義、數(shù)形結(jié)合判斷和記憶三角函數(shù)值的正負符號，并總結(jié)出形象的識記口訣，這也是理解和記憶的關(guān)鍵。
�。┚毩曥柟�、理解記憶
1、自學例1：已知角α的終邊經(jīng)過點P（2，—3），求α的六個三角函數(shù)值。
要求：讀完題目，思考：計算什么？需要準備什么？閉目心算，對照解答，模仿書面表達格式，鞏固定義。
課堂練習：
p19題1：已知角α的終邊經(jīng)過點P（—3，—1），求α的六個三角函數(shù)值。
要求心算，并提問中下學生檢驗
點評：角α終邊上有無窮多個點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，只要知道α終邊上任意一個點的坐標，就可以計算這個角的三角函數(shù)值（或判斷其無意義）。
補充例題：已知角α的終邊經(jīng)過點P（x，—3），cosα=4/5，求α的其它五個三角函數(shù)值。
師生探索：已知y=—3，要求其它五個三角函數(shù)值，須知r=？，x=？。根據(jù)定義得=（方程思想），x＞0，解得x=4，解答略。
2、自學例2：求下列各角的六個三角函數(shù)值：（1）0；（2）π/2；（3）3π/2。
提問，據(jù)反饋信息作點評、修正。
師生探索：緊扣三角函數(shù)定義求解，首先要在終邊上取定一點。終邊在哪兒呢？取定哪一點呢？任意點、還是特殊點？要靈活，只要能夠算出三角函數(shù)值，都可以。
取特殊點能使計算更簡明。
處理：要求取點用定義求解，針對計算過程提問、點評，理解鞏固定義。
強調(diào)：終邊在坐標軸上的角叫軸線角，如0、π/2、π、3π/2等，今后經(jīng)常用到軸線角的三角函數(shù)值，要結(jié)合三角函數(shù)定義記熟這些值。
設(shè)計意圖：及時安排自學例題、自做教材練習題，一般性與特殊性相結(jié)合，進行適量的變式練習，以鞏固和加深對三角函數(shù)概念的理解，通過課堂積極主動的練習活動進行思維訓練，把“培養(yǎng)學生分析解決問題的能力”貫穿在每一節(jié)課的課堂教學始終。
�。ㄆ撸┗仡櫺〗Y(jié)、建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)
要求全體學生根據(jù)教師所提問題進行總結(jié)識記，提問檢查并強調(diào)：
1、你是怎樣把銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角的？或者說任意角三角函數(shù)具體是怎樣定義的？（建立直角坐標系，使角的頂點與坐標原點重合，在終邊上任意取定一點P）
2、你如何判斷和記憶正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域？（根據(jù)定義）
3、你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號？（根據(jù)定義，想象坐標位置）
設(shè)計意圖：
遺忘的規(guī)律是先快后慢，回顧再現(xiàn)是記憶的重要途徑，在課堂內(nèi)及時總結(jié)識記主要內(nèi)容是上策。此處以問題形式讓學生自己歸納識記本節(jié)課的主體內(nèi)容，抓住要害，人人參與，及時建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)認知能力。
�。ò耍┎贾谜n外作業(yè)
1、書面作業(yè)：習題4.3第3、4、5題。
2、認真閱讀p22“閱讀材料：三角函數(shù)與歐拉”，了解歐拉的生平和貢獻，特別學習他對科學的摯著精神和堅忍不拔的頑強毅力！有興趣的同學可以上網(wǎng)查閱歐拉的相關(guān)情況。
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